Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1242
2016-10-20 
Какая энергия будет запасена в системе, изображённой на рисунке, через 10 секунд после замыкания ключа? Какое количество тепла выделится на резисторе $R$? Внутреннее сопротивление источника не превышает нескольких Ом, конденсаторы вначале не были заряжены.
Решение:
рис.1
рис.2
Введём для ёмкостей имеющихся в схеме конденсаторов следующие обозначения: $C_{1} = 1 мкФ, C_{2} = 2 мкФ, C_{3} = 3 мкФ, C_{4} = 4 мкФ$. Время установления равновесия в данной системе может быть оценено по порядку величины как произведение сопротивления $R$ на суммарную ёмкость всех конденсаторов: $\tau \sim R(C_{1}+C_{2}+C_{3}+C_{4})= 1 с$. Следовательно, через 10 секунд после замыкания ключа все процессы зарядки конденсаторов закончатся, и токи через все участки цепи, в том числе через резистор, прекратятся. Поэтому напряжение на резисторе станет равным нулю, и исходную схему можно будет заменить эквивалентной, которая показана на рисунке 1. Емкость эквивалентной батареи конденсаторов, получившейся при такой замене, равна
$C = \frac{1}{ \frac{1}{C_{1}+C_{2}} + \frac{1}{C_{3}+C_{4}}} = 2,1 мкФ$,
заряд этой батареи $q = C \mathcal{E} = 4,2 \cdot 10^{-4} Кл$, а запасённая в ней энергия $W = C \mathcal{E}^{2}/2 = 4,2 \cdot 10^{-2} Дж$.
Найдём теперь тепло, выделившееся на резисторе. Для этого рассмотрим процесс зарядки конденсаторов более подробно. Так как внутреннее сопротивление источника намного меньше сопротивления резистора, то после замыкания ключа сначала за короткий промежуток времени $\Delta t_{1} \ll \tau$ происходит зарядка всех конденсаторов, причём утечкой заряда через $R$ при этом можно пренебречь (первый этап зарядки). Следовательно, для указанного небольшого промежутка времени $\Delta t_{1}$ непосредственно после замыкания ключа исходную схему можно перерисовать в виде, показанном на рисунке 2. Емкость такой эквивалентной батареи
равна
$C^{ \prime} = \frac{C_{1}C_{3}}{C_{1}+C_{3}} + \frac{C_{2}C_{4}}{C_{2}+C_{4}} = \frac{25}{12} мкФ \approx 2,083 мкФ$,
её заряд к концу первого этапа зарядки $q^{ \prime} = C^{ \prime} \mathcal{E} = 4,17 \cdot 10^{-4} Кл$, а запасённая в батарее к концу первого этапа энергия $W^{ \prime} = C^{ \prime} \mathcal{E}^{2}/2 = 4,17 \cdot 10^{-2} Дж$. Далее в течение промежутка времени $\Delta t_{2} \sim \tau$ происходит медленная перезарядка конденсаторов через резистор $R$ (второй этап зарядки). К концу этого этапа, как было показано выше, заряд батареи конденсаторов становится равным $q$, а запасённая в батарее энергия принимает значение $W$. Согласно закону сохранения энергии, выделившаяся на резисторе теплота $Q_{R}$ равна разности совершённой источником работы по перемещению зарядов и разницы энергий, запасённой в конденсаторах на различных этапах зарядки:
$Q_{R} = (q - q^{ \prime}) \mathcal{E} - (W - W^{ \prime}) = (C - C^{ \prime}) \mathcal{E}^{2} - \frac{(C-C^{ \prime}) \mathcal{E}^{2}}{2} = \frac{(C-C^{ \prime}) \mathcal{E}^{2}}{2} \approx 3,4 \cdot 10^{-4} Дж$.
Отметим, что эта теплота, так же, как и в предыдущей задаче, не зависит от величины сопротивления $R$.
Какая энергия будет запасена в системе, изображённой на рисунке, через 10 секунд после замыкания ключа? Какое количество тепла выделится на резисторе $R$? Внутреннее сопротивление источника не превышает нескольких Ом, конденсаторы вначале не были заряжены.
Решение:
рис.1
рис.2
Введём для ёмкостей имеющихся в схеме конденсаторов следующие обозначения: $C_{1} = 1 мкФ, C_{2} = 2 мкФ, C_{3} = 3 мкФ, C_{4} = 4 мкФ$. Время установления равновесия в данной системе может быть оценено по порядку величины как произведение сопротивления $R$ на суммарную ёмкость всех конденсаторов: $\tau \sim R(C_{1}+C_{2}+C_{3}+C_{4})= 1 с$. Следовательно, через 10 секунд после замыкания ключа все процессы зарядки конденсаторов закончатся, и токи через все участки цепи, в том числе через резистор, прекратятся. Поэтому напряжение на резисторе станет равным нулю, и исходную схему можно будет заменить эквивалентной, которая показана на рисунке 1. Емкость эквивалентной батареи конденсаторов, получившейся при такой замене, равна
$C = \frac{1}{ \frac{1}{C_{1}+C_{2}} + \frac{1}{C_{3}+C_{4}}} = 2,1 мкФ$,
заряд этой батареи $q = C \mathcal{E} = 4,2 \cdot 10^{-4} Кл$, а запасённая в ней энергия $W = C \mathcal{E}^{2}/2 = 4,2 \cdot 10^{-2} Дж$.
Найдём теперь тепло, выделившееся на резисторе. Для этого рассмотрим процесс зарядки конденсаторов более подробно. Так как внутреннее сопротивление источника намного меньше сопротивления резистора, то после замыкания ключа сначала за короткий промежуток времени $\Delta t_{1} \ll \tau$ происходит зарядка всех конденсаторов, причём утечкой заряда через $R$ при этом можно пренебречь (первый этап зарядки). Следовательно, для указанного небольшого промежутка времени $\Delta t_{1}$ непосредственно после замыкания ключа исходную схему можно перерисовать в виде, показанном на рисунке 2. Емкость такой эквивалентной батареи
равна
$C^{ \prime} = \frac{C_{1}C_{3}}{C_{1}+C_{3}} + \frac{C_{2}C_{4}}{C_{2}+C_{4}} = \frac{25}{12} мкФ \approx 2,083 мкФ$,
её заряд к концу первого этапа зарядки $q^{ \prime} = C^{ \prime} \mathcal{E} = 4,17 \cdot 10^{-4} Кл$, а запасённая в батарее к концу первого этапа энергия $W^{ \prime} = C^{ \prime} \mathcal{E}^{2}/2 = 4,17 \cdot 10^{-2} Дж$. Далее в течение промежутка времени $\Delta t_{2} \sim \tau$ происходит медленная перезарядка конденсаторов через резистор $R$ (второй этап зарядки). К концу этого этапа, как было показано выше, заряд батареи конденсаторов становится равным $q$, а запасённая в батарее энергия принимает значение $W$. Согласно закону сохранения энергии, выделившаяся на резисторе теплота $Q_{R}$ равна разности совершённой источником работы по перемещению зарядов и разницы энергий, запасённой в конденсаторах на различных этапах зарядки:
$Q_{R} = (q - q^{ \prime}) \mathcal{E} - (W - W^{ \prime}) = (C - C^{ \prime}) \mathcal{E}^{2} - \frac{(C-C^{ \prime}) \mathcal{E}^{2}}{2} = \frac{(C-C^{ \prime}) \mathcal{E}^{2}}{2} \approx 3,4 \cdot 10^{-4} Дж$.
Отметим, что эта теплота, так же, как и в предыдущей задаче, не зависит от величины сопротивления $R$.
