Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12419
2020-01-08 
Длинный цилиндрический сосуд наполнен идеальным газом до давления $p_{0}$. Сначала температура цилиндра поддерживается постоянной и равной $T_{0}$. Затем температуру одной из торцевых стенок сосуда повышают на $\Delta T$, а температура противоположной стенки остается прежней. Найти установившееся давление в сосуде и положение центра масс газа. Считать, что $\Delta T \ll T_{0}$.
Решение:
После установления равновесия в разных местах сосуда давление газа будет одним и тем же, а температура будет различной: больше вблизи более теплой стенки и меньше - у противоположной. Если $\Delta T \ll T_{0}$, то можно считать, что температура меняется по линейному закону
$T(x) = T_{0} \left (1 + \frac{ \Delta T}{T_{0} } \frac{x}{l} \right )$
(см. рисунок). Мысленно разобьем сосуд на тонкие слои толщиной $\Delta x$ такие, что в пределах каждого слоя можно считать температуру газа постоянной. Для газа в каждом таком слое выполняется условие
$p = n(x) \cdot k \cdot T(x)$,
где $p$ - давление в сосуде, $k$ - постоянная Больцмана, $n(x)$ - объемная концентрация газа в данном слое. Видно, что концентрация тоже зависит от $x$
$n(x) = \frac{p}{kT_{0} \left ( 1 + \frac{ \Delta T}{T_{0} } \frac{x}{l} \right ) } \approx \frac{p}{kT_{0} } \left ( 1 - \frac{ \Delta T}{T_{0} } \frac{x}{l} \right )$
(мы воспользовались приближенным равенством $\frac{1}{1 + \alpha} \approx 1 - \alpha$ при $\alpha \ll a$) и по линейному закону меняется от $n_{0} = \frac{p}{kT_{0} }$ У "холодной" стенки до $n_{1} = \frac{p}{kT_{0} } \left ( 1 - \frac{ \Delta T}{T_{0} } \right )$ у "теплой". Среднее значение концентрации
$n_{ср} = \frac{n_{0} + n_{1} }{2} = \frac{p}{kT_{0} } \left ( 1 - \frac{1}{2} \frac{ \Delta T}{T_{0} } \right )$.
Выразим через $n_{ср}$ полное число молекул в сосуде:
$N = Sln_{ср} = \frac{pSl}{kT_{0} } \left ( 1- \frac{1}{2} \frac{ \Delta T}{T_{0} } \right )$ (1)
($S$ - площадь торца цилиндра). С другой стороны,
$N = Sl n_{ср} = \frac{p_{0}Sl }{kT_{0} }$, (2)
где $n_{0}$ - концентрация газа в сосуде при $p_{0}, T_{0}$. Из (1) и (2) находим давление в сосуде при установившемся равновесии:
$p = \frac{p_{0} }{ \left ( 1- \frac{1}{2} \frac{ \Delta T}{T_{0} } \right ) } \approx p_{0} \left ( 1 + \frac{1}{2} \frac{ \Delta T}{T_{0} } \right )$.
Теперь найдем положение центра масс газа:
$x_{ц.м} = \frac{S}{N} \int_{0}^{L} dx \cdot x \cdot n(x) = L \left ( 1 + \frac{1}{2} \frac{ \Delta T}{T_{0} } \right ) \left ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \frac{ \Delta T}{T_{0} } \right ) \approx L \left ( \frac{1}{2} - \frac{1}{12} \frac{ \Delta T}{T_{0} } \right )$.
Таким образом, центр масс сместился в сторону более холодной стенки на
$\Delta l = \frac{1}{12} \frac{ \Delta T}{T_{0} } L$.
Смещение центра масс кажется на первый взгляд парадоксальным, однако естественно объясняется взаимодействием молекул газа со стенками сосуда. Дело в том, что в процессе установления равновесия изменение импульса молекул, сталкивающихся с более теплой стенкой, будет больше, чем у тех, которые сталкиваются с противоположной стенкой. Это приведет к передаче импульса от стенок сосуда газу, а значит, и к смещению центра масс газа.
Длинный цилиндрический сосуд наполнен идеальным газом до давления $p_{0}$. Сначала температура цилиндра поддерживается постоянной и равной $T_{0}$. Затем температуру одной из торцевых стенок сосуда повышают на $\Delta T$, а температура противоположной стенки остается прежней. Найти установившееся давление в сосуде и положение центра масс газа. Считать, что $\Delta T \ll T_{0}$.
Решение:
После установления равновесия в разных местах сосуда давление газа будет одним и тем же, а температура будет различной: больше вблизи более теплой стенки и меньше - у противоположной. Если $\Delta T \ll T_{0}$, то можно считать, что температура меняется по линейному закону
$T(x) = T_{0} \left (1 + \frac{ \Delta T}{T_{0} } \frac{x}{l} \right )$
(см. рисунок). Мысленно разобьем сосуд на тонкие слои толщиной $\Delta x$ такие, что в пределах каждого слоя можно считать температуру газа постоянной. Для газа в каждом таком слое выполняется условие
$p = n(x) \cdot k \cdot T(x)$,
где $p$ - давление в сосуде, $k$ - постоянная Больцмана, $n(x)$ - объемная концентрация газа в данном слое. Видно, что концентрация тоже зависит от $x$
$n(x) = \frac{p}{kT_{0} \left ( 1 + \frac{ \Delta T}{T_{0} } \frac{x}{l} \right ) } \approx \frac{p}{kT_{0} } \left ( 1 - \frac{ \Delta T}{T_{0} } \frac{x}{l} \right )$
(мы воспользовались приближенным равенством $\frac{1}{1 + \alpha} \approx 1 - \alpha$ при $\alpha \ll a$) и по линейному закону меняется от $n_{0} = \frac{p}{kT_{0} }$ У "холодной" стенки до $n_{1} = \frac{p}{kT_{0} } \left ( 1 - \frac{ \Delta T}{T_{0} } \right )$ у "теплой". Среднее значение концентрации
$n_{ср} = \frac{n_{0} + n_{1} }{2} = \frac{p}{kT_{0} } \left ( 1 - \frac{1}{2} \frac{ \Delta T}{T_{0} } \right )$.
Выразим через $n_{ср}$ полное число молекул в сосуде:
$N = Sln_{ср} = \frac{pSl}{kT_{0} } \left ( 1- \frac{1}{2} \frac{ \Delta T}{T_{0} } \right )$ (1)
($S$ - площадь торца цилиндра). С другой стороны,
$N = Sl n_{ср} = \frac{p_{0}Sl }{kT_{0} }$, (2)
где $n_{0}$ - концентрация газа в сосуде при $p_{0}, T_{0}$. Из (1) и (2) находим давление в сосуде при установившемся равновесии:
$p = \frac{p_{0} }{ \left ( 1- \frac{1}{2} \frac{ \Delta T}{T_{0} } \right ) } \approx p_{0} \left ( 1 + \frac{1}{2} \frac{ \Delta T}{T_{0} } \right )$.
Теперь найдем положение центра масс газа:
$x_{ц.м} = \frac{S}{N} \int_{0}^{L} dx \cdot x \cdot n(x) = L \left ( 1 + \frac{1}{2} \frac{ \Delta T}{T_{0} } \right ) \left ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \frac{ \Delta T}{T_{0} } \right ) \approx L \left ( \frac{1}{2} - \frac{1}{12} \frac{ \Delta T}{T_{0} } \right )$.
Таким образом, центр масс сместился в сторону более холодной стенки на
$\Delta l = \frac{1}{12} \frac{ \Delta T}{T_{0} } L$.
Смещение центра масс кажется на первый взгляд парадоксальным, однако естественно объясняется взаимодействием молекул газа со стенками сосуда. Дело в том, что в процессе установления равновесия изменение импульса молекул, сталкивающихся с более теплой стенкой, будет больше, чем у тех, которые сталкиваются с противоположной стенкой. Это приведет к передаче импульса от стенок сосуда газу, а значит, и к смещению центра масс газа.
