Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12417
2020-01-08 
Плоскости $P$ и $Q$ пересекаются под прямым углом и плоскость $P$ составляет угол $\alpha$ с горизонтом (рис.). Из некоторой точки $A$ пространства на плоскость $P$ свободно падает маленький шарик. Соударения шарика с плоскостями абсолютно упругие. При каком условии шарик вновь окажется в точке $A$? Изобразите одну из возможных траекторий возвращения.
Решение:
Свободное падение шарика из точки $A$ на плоскость $P$ и дальнейшее его движение по параболическим траекториям удобно представить как суперпозицию движений в двух взаимно перпендикулярных направлениях - вдоль осей $X$ и $Y$ (см. рис.). "Составляющие" движения будут равноускоренными с $v_{0x} = v_{0y} = 0$ и с ускорениями $g_{x} = g \sin \alpha$ и $g = g \cos \alpha$. Упругие удары шарика о плоскости $P$ и $Q$ делают эти движения периодическими. Обозначим расстояния от точки $A$ до плоскостей $Q$ и $P$ через $l$ и $h$; времена прохождения этих расстояний ("туда" или "обратно") -
$\tau_{x} = \sqrt{ \frac{2l}{g \sin \alpha} }, \tau_{y} = \sqrt{ \frac{2h}{g \cos \alpha} }$.
Возврат шарика в точку $A$ будет реализован при одновременном его появлении в точке $A$ как в движении по оси $X$, так и в движении по оси $Y$, то есть если будет соблюдаться равенство
$\tau_{x} = k \tau_{y}$,
где $k$ - рациональное число. При этом условии всегда найдутся некоторые четные числа $m$ и $n$, равные "числу ходов" шарика по осям $X$ и $Y$ от начала движения до его появления в точке $A$:
$m \tau_{x} = n \tau_{y}$,
Найдем реальную траекторию, по которой шарик сможет опять попасть в точку $A$. Используя соотношения отрезков путей, проходимых в равноускоренном движении за равные последовательные интервалы времени (при $v_{0} = 0$), можно графически точно показать места ударов шарика о плоскость $P$ и точки касания его траектории (отрезков парабол) оси $X$.
На рисунке траектория спуска от точки $A$ до удара о плоскость $Q$ показана синим цветом. Возврат в точку $A$ возможен лишь в том случае, если шарик после "отражения" от плоскости $Q$ где-то опять "сядет" на эту же траекторию и будет двигаться по ней "вверх". Никакая другая траектория не приведет шарик в точку $A$ (в той точке обязательно $v_{x} = v_{y} = 0$).
В частности, если плоскость $Q$ шарик встретит на линии $A_{1}B_{1}$ ($m = 2, n = 2$), или на линии $A_{2}B_{2}$ ($m = 2, n = 4$), или на $A_{3}B_{3}$ ($m = 2, n = 6$) и т. д., то он сразу же после упругого удара окажется на синей траектории и обязательно вернется в точку $A$.
Теперь обратим внимание на красную траекторию на рисунке. Если после отражения от плоскости $Q$ шарик попадает на эту траекторию, то, двигаясь по ней "вверх", он в точке $B$ отразится от плоскости $P$, вновь окажется на этой же траектории и пойдет по ней в обратную сторону (красная траектория отвечает движению шарика, брошенного из точки $B$ со скоростью $v_{0}$ такой, что $v_{0y} = \sqrt{2gh \cos \alpha}, v_{0x} = 0$).
В точках пересечения красной и синей траекторий $| \vec{v}_{x1} |= | \vec{v}_{x2} |$ и $| \vec{v}_{y1} | = | \vec{v}_{y2}|$ ( согласно закону сохранения энергии, и становится понятным, что если в одной из этих точек (в точке $D$ или в точке $E$) окажется плоскость $Q$, то шарик с синей траектории в этой точке "пересядет" на красную траекторию, пройдет по ней до точки В и обратно до плоскости $Q$ и, вторично "пересев" на синюю траекторию, вернется в точку $A$. При этом для точки $D$ $m_{D} = 4, n_{D} = 6$; для точки $E$ $m_{E} = 4, n_{E} =10$.
Но в общем случае пересадки с синей траектории на красную и обратно должны осуществляться через "промежуточные параболы" (они на рисунке показаны зеленым цветом), причем какая-то из них, имея касание с осью $X$, будет обязательно иметь касание с осью $Y$. (На рисунке приведена вся траектория движения шарика при $m = 8$ и $n = 10$.)
Если $k$ - иррациональное число, на плоскости $Q$ зеленые параболы никогда не пересекутся с красной, и шарик никогда не окажется в точке А.
Плоскости $P$ и $Q$ пересекаются под прямым углом и плоскость $P$ составляет угол $\alpha$ с горизонтом (рис.). Из некоторой точки $A$ пространства на плоскость $P$ свободно падает маленький шарик. Соударения шарика с плоскостями абсолютно упругие. При каком условии шарик вновь окажется в точке $A$? Изобразите одну из возможных траекторий возвращения.
Решение:
Свободное падение шарика из точки $A$ на плоскость $P$ и дальнейшее его движение по параболическим траекториям удобно представить как суперпозицию движений в двух взаимно перпендикулярных направлениях - вдоль осей $X$ и $Y$ (см. рис.). "Составляющие" движения будут равноускоренными с $v_{0x} = v_{0y} = 0$ и с ускорениями $g_{x} = g \sin \alpha$ и $g = g \cos \alpha$. Упругие удары шарика о плоскости $P$ и $Q$ делают эти движения периодическими. Обозначим расстояния от точки $A$ до плоскостей $Q$ и $P$ через $l$ и $h$; времена прохождения этих расстояний ("туда" или "обратно") -
$\tau_{x} = \sqrt{ \frac{2l}{g \sin \alpha} }, \tau_{y} = \sqrt{ \frac{2h}{g \cos \alpha} }$.
Возврат шарика в точку $A$ будет реализован при одновременном его появлении в точке $A$ как в движении по оси $X$, так и в движении по оси $Y$, то есть если будет соблюдаться равенство
$\tau_{x} = k \tau_{y}$,
где $k$ - рациональное число. При этом условии всегда найдутся некоторые четные числа $m$ и $n$, равные "числу ходов" шарика по осям $X$ и $Y$ от начала движения до его появления в точке $A$:
$m \tau_{x} = n \tau_{y}$,
Найдем реальную траекторию, по которой шарик сможет опять попасть в точку $A$. Используя соотношения отрезков путей, проходимых в равноускоренном движении за равные последовательные интервалы времени (при $v_{0} = 0$), можно графически точно показать места ударов шарика о плоскость $P$ и точки касания его траектории (отрезков парабол) оси $X$.
На рисунке траектория спуска от точки $A$ до удара о плоскость $Q$ показана синим цветом. Возврат в точку $A$ возможен лишь в том случае, если шарик после "отражения" от плоскости $Q$ где-то опять "сядет" на эту же траекторию и будет двигаться по ней "вверх". Никакая другая траектория не приведет шарик в точку $A$ (в той точке обязательно $v_{x} = v_{y} = 0$).
В частности, если плоскость $Q$ шарик встретит на линии $A_{1}B_{1}$ ($m = 2, n = 2$), или на линии $A_{2}B_{2}$ ($m = 2, n = 4$), или на $A_{3}B_{3}$ ($m = 2, n = 6$) и т. д., то он сразу же после упругого удара окажется на синей траектории и обязательно вернется в точку $A$.
Теперь обратим внимание на красную траекторию на рисунке. Если после отражения от плоскости $Q$ шарик попадает на эту траекторию, то, двигаясь по ней "вверх", он в точке $B$ отразится от плоскости $P$, вновь окажется на этой же траектории и пойдет по ней в обратную сторону (красная траектория отвечает движению шарика, брошенного из точки $B$ со скоростью $v_{0}$ такой, что $v_{0y} = \sqrt{2gh \cos \alpha}, v_{0x} = 0$).
В точках пересечения красной и синей траекторий $| \vec{v}_{x1} |= | \vec{v}_{x2} |$ и $| \vec{v}_{y1} | = | \vec{v}_{y2}|$ ( согласно закону сохранения энергии, и становится понятным, что если в одной из этих точек (в точке $D$ или в точке $E$) окажется плоскость $Q$, то шарик с синей траектории в этой точке "пересядет" на красную траекторию, пройдет по ней до точки В и обратно до плоскости $Q$ и, вторично "пересев" на синюю траекторию, вернется в точку $A$. При этом для точки $D$ $m_{D} = 4, n_{D} = 6$; для точки $E$ $m_{E} = 4, n_{E} =10$.
Но в общем случае пересадки с синей траектории на красную и обратно должны осуществляться через "промежуточные параболы" (они на рисунке показаны зеленым цветом), причем какая-то из них, имея касание с осью $X$, будет обязательно иметь касание с осью $Y$. (На рисунке приведена вся траектория движения шарика при $m = 8$ и $n = 10$.)
Если $k$ - иррациональное число, на плоскости $Q$ зеленые параболы никогда не пересекутся с красной, и шарик никогда не окажется в точке А.
