Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12415
2020-01-08 
Космическая станция массой $M$ и состыкованный с ней спутник массой $m$ движутся вокруг Земли по круговой орбите, радиус которой равен $1,25R$, где $R$ - радиус Земли. В некоторый момент спутник катапультируется со станции в направлении ее движения и переходит на эллиптическую орбиту с апогеем, удаленным от центра Земли на расстояние $10R$. При каком отношении $m/M$ спутник встретится со станцией, совершив один оборот вокруг Земли?
Решение:
После расстыковки станция и спутник движутся по эллиптическим орбитам, для которых точка расстыковки (точка А на рисунке) является соответственно апогеем и перигеем.
Пусть $T_{1}$ - период обращения спутника по орбите 1 с расстоянием от центра Земли до апогея $10R$, $T_{2}$ - период обращения станции по орбите 2 с расстоянием от центра Земли до перигея $nR$ ($n$ - неизвестное число). Сближение спутника и станции в точке А через один оборот спутника произойдет при условии
$\frac{T_{1} }{T_{2} } = k > 1$, где $k$ - целое число.
Выражая $T_{1}, T_{2}$ через массы станции $M$ и спутника $m$, используя для этой цели законы Кеплера, законы сохранения импульса и энергии, найдем возможные соотношения между этими массами, которые приводят к выполнению условия $T_{1} : T_{2} = k$.
По третьему закону Кеплера
$\frac{T_{1} }{T_{2} } = \left ( \frac{a_{1} }{a_{2} } \right )^{3/2} = \left ( \frac{45}{5 + 4n} \right )^{3/2} = k$, (1)
где $a_{1}, a_{2}$ - большие полуоси соответствующих орбит (см. рисунок). Выразим $n$ через массы $m$ и $M$.
При раздельном движении станции и спутника вокруг Земли сохраняются их полные механические энергии. Так как потенциальная энергия тела массы $m$ в поле тяготения Земли на расстоянии $r$ от центра Земли равна
$U = - \frac{GmM_{з} }{r} = - \frac{mgR^{2} }{r}$
($g$ - ускорение свободного падения, $M_{з}$ - масса Земли), то из закона сохранения энергии следует, что
$\frac{mv_{1}^{2} }{2} - \frac{mgR^{2} }{5R/4} = \frac{m(v_{1}^{ \prime} )^{2} }{2} - \frac{mgR^{2} }{10R}$, (2)
$\frac{Mv_{2}^{2} }{2} - \frac{MgR^{2} }{5R/4} = \frac{M(v_{2}^{ \prime} )^{2} }{2} - \frac{MgR^{2} }{nR}$, (3)
где $v_{1}^{ \prime}$ - скорость спутника в апогее, $v_{2}^{ \prime}$ - скорость станции в перигее, $v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости, приобретаемые соответственно спутником и станцией в момент расстыковки в точке А (см. рисунок).
Согласно закону сохранения импульса скорости $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ связаны соотношением
$(M + m)v_{0} = mv_{1} + Mv_{2}$, (4)
где $v_{0}$ - скорость станции и спутника до расстыковки. Величину $v_{0}$ найдем из уравнения движения станции и спутника как целого (до расстыковки):
$\frac{(m + M)v_{0}^{2}}{5R/4} = G \frac{(m + M)M_{з} }{(5R/4)^{2} }$,
откуда
$v_{0} = \sqrt{ \frac{GM_{з} }{5R/4} } = 2 \sqrt{ \frac{gR}{5} }$. (5)
Второй закон Кеплера позволяет установить связь между скоростями $v_{1}$ и $v_{1}^{ \prime}$, $v_{2}$ и $v_{2}^{ \prime}$:
$\frac{5}{4} Rv_{1} = 10Rv_{1}^{ \prime}$, (6)
$\frac{5}{4} Rv_{2} = nRv_{2}^{ \prime}$, (7)
Уравнения (2)-(7) однозначно определяют $n, v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{1}^{ \prime}, v_{2}^{ \prime}$ как функции величин $m, M, R, g$. Решая систему, найдем
$n = \frac{5 \left ( 1 - \frac{m}{3M} \right )^{2}}{4 \left (2 - \left ( 1 - \frac{m}{3M} \right )^{2} \right ) }$. (8)
Станция не упадет на Землю после запуска спутника, если $n > 1$. Это условие будет выполнено при
$\frac{m}{M} < 3 - 2 \sqrt{2}$
(случай $m > M$ не рассматривается). Подставив (8) в (2), получим
$\frac{m}{M} = 3 - \sqrt{2(9 - k^{2/3})}$. (9)
Условие $0 < \frac{m}{M} < 3 - 2 \sqrt{2}$ накладывает следующие ограничения на допустимые значения $k$ в формуле (9):
$10 \leq k \leq 18, k < 5^{3/2} \approx 11,2$.
Таким образом, возможны лишь значения $k = 10,11$, которым соответствуют отношения масс
$\frac{m}{M} = 0,0476$ и $\frac{m}{M} = 0,153$.
Космическая станция массой $M$ и состыкованный с ней спутник массой $m$ движутся вокруг Земли по круговой орбите, радиус которой равен $1,25R$, где $R$ - радиус Земли. В некоторый момент спутник катапультируется со станции в направлении ее движения и переходит на эллиптическую орбиту с апогеем, удаленным от центра Земли на расстояние $10R$. При каком отношении $m/M$ спутник встретится со станцией, совершив один оборот вокруг Земли?
Решение:
После расстыковки станция и спутник движутся по эллиптическим орбитам, для которых точка расстыковки (точка А на рисунке) является соответственно апогеем и перигеем.
Пусть $T_{1}$ - период обращения спутника по орбите 1 с расстоянием от центра Земли до апогея $10R$, $T_{2}$ - период обращения станции по орбите 2 с расстоянием от центра Земли до перигея $nR$ ($n$ - неизвестное число). Сближение спутника и станции в точке А через один оборот спутника произойдет при условии
$\frac{T_{1} }{T_{2} } = k > 1$, где $k$ - целое число.
Выражая $T_{1}, T_{2}$ через массы станции $M$ и спутника $m$, используя для этой цели законы Кеплера, законы сохранения импульса и энергии, найдем возможные соотношения между этими массами, которые приводят к выполнению условия $T_{1} : T_{2} = k$.
По третьему закону Кеплера
$\frac{T_{1} }{T_{2} } = \left ( \frac{a_{1} }{a_{2} } \right )^{3/2} = \left ( \frac{45}{5 + 4n} \right )^{3/2} = k$, (1)
где $a_{1}, a_{2}$ - большие полуоси соответствующих орбит (см. рисунок). Выразим $n$ через массы $m$ и $M$.
При раздельном движении станции и спутника вокруг Земли сохраняются их полные механические энергии. Так как потенциальная энергия тела массы $m$ в поле тяготения Земли на расстоянии $r$ от центра Земли равна
$U = - \frac{GmM_{з} }{r} = - \frac{mgR^{2} }{r}$
($g$ - ускорение свободного падения, $M_{з}$ - масса Земли), то из закона сохранения энергии следует, что
$\frac{mv_{1}^{2} }{2} - \frac{mgR^{2} }{5R/4} = \frac{m(v_{1}^{ \prime} )^{2} }{2} - \frac{mgR^{2} }{10R}$, (2)
$\frac{Mv_{2}^{2} }{2} - \frac{MgR^{2} }{5R/4} = \frac{M(v_{2}^{ \prime} )^{2} }{2} - \frac{MgR^{2} }{nR}$, (3)
где $v_{1}^{ \prime}$ - скорость спутника в апогее, $v_{2}^{ \prime}$ - скорость станции в перигее, $v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости, приобретаемые соответственно спутником и станцией в момент расстыковки в точке А (см. рисунок).
Согласно закону сохранения импульса скорости $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ связаны соотношением
$(M + m)v_{0} = mv_{1} + Mv_{2}$, (4)
где $v_{0}$ - скорость станции и спутника до расстыковки. Величину $v_{0}$ найдем из уравнения движения станции и спутника как целого (до расстыковки):
$\frac{(m + M)v_{0}^{2}}{5R/4} = G \frac{(m + M)M_{з} }{(5R/4)^{2} }$,
откуда
$v_{0} = \sqrt{ \frac{GM_{з} }{5R/4} } = 2 \sqrt{ \frac{gR}{5} }$. (5)
Второй закон Кеплера позволяет установить связь между скоростями $v_{1}$ и $v_{1}^{ \prime}$, $v_{2}$ и $v_{2}^{ \prime}$:
$\frac{5}{4} Rv_{1} = 10Rv_{1}^{ \prime}$, (6)
$\frac{5}{4} Rv_{2} = nRv_{2}^{ \prime}$, (7)
Уравнения (2)-(7) однозначно определяют $n, v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{1}^{ \prime}, v_{2}^{ \prime}$ как функции величин $m, M, R, g$. Решая систему, найдем
$n = \frac{5 \left ( 1 - \frac{m}{3M} \right )^{2}}{4 \left (2 - \left ( 1 - \frac{m}{3M} \right )^{2} \right ) }$. (8)
Станция не упадет на Землю после запуска спутника, если $n > 1$. Это условие будет выполнено при
$\frac{m}{M} < 3 - 2 \sqrt{2}$
(случай $m > M$ не рассматривается). Подставив (8) в (2), получим
$\frac{m}{M} = 3 - \sqrt{2(9 - k^{2/3})}$. (9)
Условие $0 < \frac{m}{M} < 3 - 2 \sqrt{2}$ накладывает следующие ограничения на допустимые значения $k$ в формуле (9):
$10 \leq k \leq 18, k < 5^{3/2} \approx 11,2$.
Таким образом, возможны лишь значения $k = 10,11$, которым соответствуют отношения масс
$\frac{m}{M} = 0,0476$ и $\frac{m}{M} = 0,153$.
