Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12410
2019-12-31 
Определить емкость системы конденсаторов, приведенной на рисунке. У каждого конденсатора указано значение его емкости, измеренной в микрофарадах.
Решение:
Представить исходную схему как систему параллельно и последовательно соединенных конденсаторов не удается. В таких случаях необходимо, как говорят, упростить схему. Напомним, что под этим подразумевают.
Обычно, исходя из соображений геометрической или физической симметрии, какие-то узлы схемы разъединяют или, наоборот, соединяют, какие-то конденсаторы удаляют и т.п., добиваясь того, чтобы новая схема из последовательно и параллельно соединенных конденсаторов была эквивалентна исходной, то есть, чтобы при подаче на исходную и преобразованную схемы одинаковых напряжений схемы заряжались одинаково, - в этом случае емкости схем одинаковы, и рассчитывают емкость именно преобразованной схемы.
В основе применения описанного выше метода лежит теорема единственности, суть которой в нашем случае сводится к следующему. Если на схему подать некоторое напряжение, то напряжения (и, соответственно, заряды) на всех конденсаторах примут единственно возможные значения. Приведем не очень строгое доказательство этой теоремы методом от противного.
Предположим, что существуют две возможности зарядам "рассесться" на конденсаторах схемы при подаче на нее напряжения $U_{0}$. Это означает, что, по крайней мере на одном из конденсаторов, например, с емкостью $C_{0}$, заряды в первом и во втором случаях будут разные. Подадим на схему включенные навстречу источники напряжения $U_{0}$ и $- U_{0}$ (то есть суммарное напряжение, поданное на схему, равно нулю). Вследствие принципа суперпозиции схема независимым образом "отреагирует" на напряжения $U$ и $-U_{0}$; в первом случае на конденсаторе $C_{0}$ окажется заряд $q_{0}$, а в ответ на напряжение $-U_{0}$ конденсатор зарядится зарядом с противоположной полярностью, причем $| q_{0} + q_{0}^{ \prime} | \neq 0$. Таким образом, на схему было подано нулевое напряжение, работа внешних источников была равна нулю, а на конденсаторе $C_{0}$ оказался запас электрической энергии $\frac{(q_{0} + q_{0}^{ \prime} )^{2} }{2} \neq 0$. Противоречие.
Обратимся теперь к нашей схеме. Пропорциональность значений емкостей горизонтальных участков схемы наталкивает на следующую стратегию - упрощение схемы путем удаления конденсаторов между парами точек: с и d, е и f, f и g. Действительно, если удалить конденсаторы и подать на упрощенную схему некоторое напряжение, то потенциалы соответствующих точек будут одинаковыми: $\phi_{c} = \phi_{d}, \phi_{e} = \phi_{f} = \phi_{g}$ (покажите это самостоятельно!). Вернем на место удаленные конденсаторы. Перераспределения зарядов на других конденсаторах схемы вследствие теоремы единственности не произойдет поэтому емкости исход ной и преобразованной схем будут одинаковы.
Емкость преобразованной схемы равна
$C_{AB} = 1: \left ( \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \right ) + 1: \left ( \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right ) + 1: \left ( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \right ) = \frac{9}{2} мкф$.
Определить емкость системы конденсаторов, приведенной на рисунке. У каждого конденсатора указано значение его емкости, измеренной в микрофарадах.
Решение:
Представить исходную схему как систему параллельно и последовательно соединенных конденсаторов не удается. В таких случаях необходимо, как говорят, упростить схему. Напомним, что под этим подразумевают.
Обычно, исходя из соображений геометрической или физической симметрии, какие-то узлы схемы разъединяют или, наоборот, соединяют, какие-то конденсаторы удаляют и т.п., добиваясь того, чтобы новая схема из последовательно и параллельно соединенных конденсаторов была эквивалентна исходной, то есть, чтобы при подаче на исходную и преобразованную схемы одинаковых напряжений схемы заряжались одинаково, - в этом случае емкости схем одинаковы, и рассчитывают емкость именно преобразованной схемы.
В основе применения описанного выше метода лежит теорема единственности, суть которой в нашем случае сводится к следующему. Если на схему подать некоторое напряжение, то напряжения (и, соответственно, заряды) на всех конденсаторах примут единственно возможные значения. Приведем не очень строгое доказательство этой теоремы методом от противного.
Предположим, что существуют две возможности зарядам "рассесться" на конденсаторах схемы при подаче на нее напряжения $U_{0}$. Это означает, что, по крайней мере на одном из конденсаторов, например, с емкостью $C_{0}$, заряды в первом и во втором случаях будут разные. Подадим на схему включенные навстречу источники напряжения $U_{0}$ и $- U_{0}$ (то есть суммарное напряжение, поданное на схему, равно нулю). Вследствие принципа суперпозиции схема независимым образом "отреагирует" на напряжения $U$ и $-U_{0}$; в первом случае на конденсаторе $C_{0}$ окажется заряд $q_{0}$, а в ответ на напряжение $-U_{0}$ конденсатор зарядится зарядом с противоположной полярностью, причем $| q_{0} + q_{0}^{ \prime} | \neq 0$. Таким образом, на схему было подано нулевое напряжение, работа внешних источников была равна нулю, а на конденсаторе $C_{0}$ оказался запас электрической энергии $\frac{(q_{0} + q_{0}^{ \prime} )^{2} }{2} \neq 0$. Противоречие.
Обратимся теперь к нашей схеме. Пропорциональность значений емкостей горизонтальных участков схемы наталкивает на следующую стратегию - упрощение схемы путем удаления конденсаторов между парами точек: с и d, е и f, f и g. Действительно, если удалить конденсаторы и подать на упрощенную схему некоторое напряжение, то потенциалы соответствующих точек будут одинаковыми: $\phi_{c} = \phi_{d}, \phi_{e} = \phi_{f} = \phi_{g}$ (покажите это самостоятельно!). Вернем на место удаленные конденсаторы. Перераспределения зарядов на других конденсаторах схемы вследствие теоремы единственности не произойдет поэтому емкости исход ной и преобразованной схем будут одинаковы.
Емкость преобразованной схемы равна
$C_{AB} = 1: \left ( \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \right ) + 1: \left ( \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right ) + 1: \left ( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \right ) = \frac{9}{2} мкф$.
