Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12407
2019-12-31 
Два одинаковых точечных заряда $q > 0$ находятся на расстоянии $l$ друг от друга. На какое минимальное расстояние "подойдет" к плоскости симметрии П (рис.) силовая линия, выходящая из левого заряда под углом $\alpha$ к прямой, соединяющей заряды? Под каким углом к плоскости симметрии будет расположена эта линия при удалении на большое расстояние от зарядов?
Решение:
Прежде чем решать задачу, выскажем некоторые предварительные соображения.
1) Согласно принципу суперпозиции полей напряженность электрического поля системы точечных зарядов в каждой точке равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности.
2) Картина силовых линий поля, созданного двумя одинаковыми точечными зарядами, симметрична относительно плоскости симметрии П (см. рис.) и одинакова в любой плоскости, проходящей через соединяющую заряды прямую.
3) Вблизи каждого заряда влиянием другого заряда можно пренебречь и считать, что силовые линии выходят из заряда "равномерно", то есть с одинаковой густотой, по всем направлениям, как если бы он был одиночным (лишь потом эти линии искривляются).
4) При удалении на большое расстояние система двух одинаковых точечных зарядов ведет себя как один заряд $2q$, находящийся посередине. Это означает, что вдали от зарядов все силовые линии поля системы асимптотически приближаются к радиальным силовым линиям поля точечного заряда $2q$.
Теперь приступим непосредственно к решению (Если угол $\alpha$ - тупой, то искомое расстояние $x = l/2$, поэтому рассмотрим $\alpha \leq 90{ \circ}$.). Рассмотрим точку С данной силовой линии, которая находится на минимальном расстоянии $x$ от плоскости П (рис.). Напряженность $\vec{E}_{C}$ поля в точке С, равная сумме напряженностей $\vec{E}_{A}$ и $\vec{E}_{B}$, направлена параллельно плоскости П; следовательно, проекции векторов $\vec{E}_{A}$ и $\vec{E}_{B}$ на ось, проходящую через точки А и В, равны по модулю (см. рис.):
$\frac{kq}{r_{1}^{2} } \cos \beta = \frac{kq}{r_{2}^{2} } \cos \gamma$.
Выразив расстояния $r_{1}$ и $r_{2}$ через $l$ из треугольника АВС с помощью теоремы синусов, придем к уравнению
$( \cos \beta - \cos \gamma )( \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma + \cos \beta \cos \gamma - 1) = 0$.
Если приравнять к нулю первый сомножитель, то получим тривиальный случай: $\beta = \gamma$ (оба угла острые $\gamma < 90^{ \circ}$, так как данная силовая линия не заходит вправо за плоскость П; $\beta < 90^ {\circ}$, так как до точки С силовая линия приближается к плоскости П.), то есть точка С принадлежит самой плоскости П. Этот случай нас не интересует.
Приравняем к нулю второй сомножитель:
$\cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma + \cos \beta \cos \gamma - 1 = 0$. (1)
В этом уравнении два неизвестных, так что решений в принципе может быть бесконечно много. Однако тут нам пригодятся высказанные ранее соображения 1)-3). Рассмотрим силовые линии, выходящие из левого заряда и попадающие внутрь конуса с углом а между образующей и осью конуса (линией АВ). Понятно, что условное число $N$ этих линий пропорционально величине телесного угла $\Omega = 2 \pi (1 - \cos \alpha )$ (эту формулу нетрудно вывести самостоятельно):
$N = K \cdot \Omega = K \cdot 2 \pi ( 1 - \cos \alpha )$.
С другой стороны, поскольку силовые линии результирующего поля не пересекаются, это же число силовых линий можно найти, если рассмотреть силовые линии полей, созданных каждым из двух зарядов в отдельности, пересекающие круг с диаметром $CC^{\prime}$ (рис.):
$N = K \cdot 2 \pi (1 - \cos \beta ) - K \cdot 2 \pi (1 - \cos \gamma)$
(разность, а не сумма взята здесь потому, что силовые линии поля левого заряда пересекают выбранный круг слева направо, а линии поля правого заряда - наоборот). Итак, получаем
$K \cdot 2 \pi (1 - \cos \alpha ) = K \cdot 2 \pi (1 - \cos \beta) - К \cdot 2 \pi (1 - \cos \gamma)$,
или
$1 - \cos \alpha = \cos \gamma - \cos \beta$. (2)
Объединим уравнения (1) и (2) в систему:
$\begin{cases} 1 - \cos \alpha = \cos \gamma - \cos \beta, \\ \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma + \cos \beta \cos \gamma = 1. \end{cases}$
Эта система, учитывая, опять-таки, что углы $\beta$ и $\gamma$ острые, имеет единственное решение:
$\cos \beta = \frac{ \cos \alpha - 1 + \sqrt{ \frac{(3 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{3} } }{2}$,
$\cos \gamma = \frac{ 1 - \cos \alpha + \sqrt{ \frac{(3 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{3} } }{2}$.
Найдем теперь искомое расстояние $x$ (см. рис.):
$x = \frac{l}{2} - r_{1} \cos \beta = \frac{l}{2} \left ( 1 - 2 \frac{ \sin \gamma \cos \beta}{ \sin( \beta + \gamma) } \right )$,
где углы $\beta$ и $\gamma$ можно выразить из предыдущих равенств ($\beta = arccos \beta$ и $\gamma = arccos \gamma$). Нетрудно "проверить" полученный ответ для двух очевидных частных случаев: а) если $\alpha = 90^{ \circ}$, то $x = l/2$, то есть данная силовая линия сразу же "заворачивает" влево; б) если $\alpha = 0^{ \circ}$, то $x = 0$, то есть силовая линия сначала идет по отрезку $l$, до точки О, где она терпит "разрыв" (в этой точке поле отсутствует), а затем идет по вертикальной прямой (в плоскости П).
Нам осталось выяснить, к какой прямой будет асимптотически приближаться данная силовая линия на большом расстоянии от зарядов (Здесь угол $\alpha$ уже не обязательно острый). Другими словами, нам нужно найти угол $\delta$, а в конечном счете и $\delta^{ \prime}$ (см. рис.). В этом помогут соображения 1), 2) и 4).
С одной стороны, все силовые линии, которые не выходят за пределы конуса с углом $\delta$ между образующей и осью, идут от левого заряда в пределах телесного угла, равного $2 \pi (1 - \cos( \pi - \alpha )) = 2 \pi ( 1 + \cos \alpha )$. Значит, их число
$N =K \cdot 2 \pi (1 + \cos \alpha )$.
С другой стороны, мы получим то же число линий, если будем рассматривать систему как один точечный заряд $2q$, находящийся в точке О:
$N = 2K \cdot 2 \pi (1 - \cos \delta )$.
Таким образом, получаем
$K \cdot 2 \pi (1 + \cos \alpha ) = 2K \cdot 2 \pi (1 - \cos \delta )$,
откуда
$\cos \delta = \frac{1 - \cos \alpha}{2}, \delta = arccos \frac{1 - \cos \alpha}{2}$.
Угол $\delta^{ \prime}$ дополняет угол $\delta$ до $90^{ \circ}$, поэтому
$\delta^{ \prime} = arcsin \frac{1 - \cos \alpha}{2}$.
Например: если $\alpha =90^{ \circ}$, то $\delta^{ \prime} = 30^{ \circ}$, если $\alpha = 0^{ \circ}$, то $\delta^{ \prime} =0^{ \circ}$, если $\alpha = 180^{ \circ}$, то $\delta^{ \prime} = 90^{ \circ}$, то есть эти тривиальные частные случаи хорошо "сочетаются" с интуицией и здравым смыслом.
Два одинаковых точечных заряда $q > 0$ находятся на расстоянии $l$ друг от друга. На какое минимальное расстояние "подойдет" к плоскости симметрии П (рис.) силовая линия, выходящая из левого заряда под углом $\alpha$ к прямой, соединяющей заряды? Под каким углом к плоскости симметрии будет расположена эта линия при удалении на большое расстояние от зарядов?
Решение:
Прежде чем решать задачу, выскажем некоторые предварительные соображения.
1) Согласно принципу суперпозиции полей напряженность электрического поля системы точечных зарядов в каждой точке равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности.
2) Картина силовых линий поля, созданного двумя одинаковыми точечными зарядами, симметрична относительно плоскости симметрии П (см. рис.) и одинакова в любой плоскости, проходящей через соединяющую заряды прямую.
3) Вблизи каждого заряда влиянием другого заряда можно пренебречь и считать, что силовые линии выходят из заряда "равномерно", то есть с одинаковой густотой, по всем направлениям, как если бы он был одиночным (лишь потом эти линии искривляются).
4) При удалении на большое расстояние система двух одинаковых точечных зарядов ведет себя как один заряд $2q$, находящийся посередине. Это означает, что вдали от зарядов все силовые линии поля системы асимптотически приближаются к радиальным силовым линиям поля точечного заряда $2q$.
Теперь приступим непосредственно к решению (Если угол $\alpha$ - тупой, то искомое расстояние $x = l/2$, поэтому рассмотрим $\alpha \leq 90{ \circ}$.). Рассмотрим точку С данной силовой линии, которая находится на минимальном расстоянии $x$ от плоскости П (рис.). Напряженность $\vec{E}_{C}$ поля в точке С, равная сумме напряженностей $\vec{E}_{A}$ и $\vec{E}_{B}$, направлена параллельно плоскости П; следовательно, проекции векторов $\vec{E}_{A}$ и $\vec{E}_{B}$ на ось, проходящую через точки А и В, равны по модулю (см. рис.):
$\frac{kq}{r_{1}^{2} } \cos \beta = \frac{kq}{r_{2}^{2} } \cos \gamma$.
Выразив расстояния $r_{1}$ и $r_{2}$ через $l$ из треугольника АВС с помощью теоремы синусов, придем к уравнению
$( \cos \beta - \cos \gamma )( \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma + \cos \beta \cos \gamma - 1) = 0$.
Если приравнять к нулю первый сомножитель, то получим тривиальный случай: $\beta = \gamma$ (оба угла острые $\gamma < 90^{ \circ}$, так как данная силовая линия не заходит вправо за плоскость П; $\beta < 90^ {\circ}$, так как до точки С силовая линия приближается к плоскости П.), то есть точка С принадлежит самой плоскости П. Этот случай нас не интересует.
Приравняем к нулю второй сомножитель:
$\cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma + \cos \beta \cos \gamma - 1 = 0$. (1)
В этом уравнении два неизвестных, так что решений в принципе может быть бесконечно много. Однако тут нам пригодятся высказанные ранее соображения 1)-3). Рассмотрим силовые линии, выходящие из левого заряда и попадающие внутрь конуса с углом а между образующей и осью конуса (линией АВ). Понятно, что условное число $N$ этих линий пропорционально величине телесного угла $\Omega = 2 \pi (1 - \cos \alpha )$ (эту формулу нетрудно вывести самостоятельно):
$N = K \cdot \Omega = K \cdot 2 \pi ( 1 - \cos \alpha )$.
С другой стороны, поскольку силовые линии результирующего поля не пересекаются, это же число силовых линий можно найти, если рассмотреть силовые линии полей, созданных каждым из двух зарядов в отдельности, пересекающие круг с диаметром $CC^{\prime}$ (рис.):
$N = K \cdot 2 \pi (1 - \cos \beta ) - K \cdot 2 \pi (1 - \cos \gamma)$
(разность, а не сумма взята здесь потому, что силовые линии поля левого заряда пересекают выбранный круг слева направо, а линии поля правого заряда - наоборот). Итак, получаем
$K \cdot 2 \pi (1 - \cos \alpha ) = K \cdot 2 \pi (1 - \cos \beta) - К \cdot 2 \pi (1 - \cos \gamma)$,
или
$1 - \cos \alpha = \cos \gamma - \cos \beta$. (2)
Объединим уравнения (1) и (2) в систему:
$\begin{cases} 1 - \cos \alpha = \cos \gamma - \cos \beta, \\ \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma + \cos \beta \cos \gamma = 1. \end{cases}$
Эта система, учитывая, опять-таки, что углы $\beta$ и $\gamma$ острые, имеет единственное решение:
$\cos \beta = \frac{ \cos \alpha - 1 + \sqrt{ \frac{(3 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{3} } }{2}$,
$\cos \gamma = \frac{ 1 - \cos \alpha + \sqrt{ \frac{(3 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{3} } }{2}$.
Найдем теперь искомое расстояние $x$ (см. рис.):
$x = \frac{l}{2} - r_{1} \cos \beta = \frac{l}{2} \left ( 1 - 2 \frac{ \sin \gamma \cos \beta}{ \sin( \beta + \gamma) } \right )$,
где углы $\beta$ и $\gamma$ можно выразить из предыдущих равенств ($\beta = arccos \beta$ и $\gamma = arccos \gamma$). Нетрудно "проверить" полученный ответ для двух очевидных частных случаев: а) если $\alpha = 90^{ \circ}$, то $x = l/2$, то есть данная силовая линия сразу же "заворачивает" влево; б) если $\alpha = 0^{ \circ}$, то $x = 0$, то есть силовая линия сначала идет по отрезку $l$, до точки О, где она терпит "разрыв" (в этой точке поле отсутствует), а затем идет по вертикальной прямой (в плоскости П).
Нам осталось выяснить, к какой прямой будет асимптотически приближаться данная силовая линия на большом расстоянии от зарядов (Здесь угол $\alpha$ уже не обязательно острый). Другими словами, нам нужно найти угол $\delta$, а в конечном счете и $\delta^{ \prime}$ (см. рис.). В этом помогут соображения 1), 2) и 4).
С одной стороны, все силовые линии, которые не выходят за пределы конуса с углом $\delta$ между образующей и осью, идут от левого заряда в пределах телесного угла, равного $2 \pi (1 - \cos( \pi - \alpha )) = 2 \pi ( 1 + \cos \alpha )$. Значит, их число
$N =K \cdot 2 \pi (1 + \cos \alpha )$.
С другой стороны, мы получим то же число линий, если будем рассматривать систему как один точечный заряд $2q$, находящийся в точке О:
$N = 2K \cdot 2 \pi (1 - \cos \delta )$.
Таким образом, получаем
$K \cdot 2 \pi (1 + \cos \alpha ) = 2K \cdot 2 \pi (1 - \cos \delta )$,
откуда
$\cos \delta = \frac{1 - \cos \alpha}{2}, \delta = arccos \frac{1 - \cos \alpha}{2}$.
Угол $\delta^{ \prime}$ дополняет угол $\delta$ до $90^{ \circ}$, поэтому
$\delta^{ \prime} = arcsin \frac{1 - \cos \alpha}{2}$.
Например: если $\alpha =90^{ \circ}$, то $\delta^{ \prime} = 30^{ \circ}$, если $\alpha = 0^{ \circ}$, то $\delta^{ \prime} =0^{ \circ}$, если $\alpha = 180^{ \circ}$, то $\delta^{ \prime} = 90^{ \circ}$, то есть эти тривиальные частные случаи хорошо "сочетаются" с интуицией и здравым смыслом.
