Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12406
2019-12-31 
На твердое тело, движущееся поступательно по шероховатой горизонтальной поверхности, в момент времени $t_{0} = 0$, когда скорость тела равна $v_{0}$, начинает действовать сила $F(t)$, направленная все время вдоль вектора $\vec{v}_{0}$ и возрастающая со временем. Через время $t$ скорость тела оказывается равной $v_{1}$, причем $v_{1} = 5 м/с$, если $v_{0} = 1 м/с$, и $v_{1} = 13 м/с$, если $v_{0} = 10 м/с$. Определить зависимость $v_{1} = f(v_{0})$ при всех возможных $v_{0}$.
Решение:
Начиная с момента времени $t=0$, на тело действуют две силы - данная сила $F(t)$, возрастающая со временем, и сила трения, которая здесь может принимать значения от 0 до максимальной силы трения покоя, равной силе трения скольжения $F_{тр} = \mu mg$ ($\mu$ - коэффициент трения, $m$ - масса тела). Эти силы направлены противоположно друг другу, поэтому понятно, что характер движения тела будет определяться соотношением между модулями действующих на тело сил, и прежде всего - в начальный момент. Рассмотрим возможные варианты.
Если $F(0) > \mu mg$, то тело с самого начала движется так, что ни ускорение, ни изменение скорости за данный промежуток времени $t$ не зависят от скорости: $v_{t} = v_{0} + C$ (где $C$ - некоторая постоянная). Соответствующий график изображен на рисунке. Нетрудно увидеть, что данные задачи не "ложатся" на этот график. Значит, $F(0) < \mu mg$.
Поскольку сила $F(t)$ с течением времени возрастает, в какой-то момент, назовем его "критическим", она окажется равной максимальной силе трения покоя: $F(t_{кр}) = \mu mg$. Это может произойти либо до указанного момента времени $t$, либо после него (конечно, не исключено, что этого не случится никогда, но об этом - несколько позже).
Пусть $t_{кр} < t$. Тогда тело сначала, до момента $t_{кр}$, движется замедленно, а потом ускоренно. Но здесь тоже возможны два случая: в момент $t_{кр}$ скорость тела либо равна нулю, либо больше нуля. Ясно, что первый случай может быть реализован лишь при достаточно малых начальных скоростях. При этом скорость $v_{1}$ не зависит от скорости $v_{0}$ (тело движется замедленно, останавливается и снова начинает двигаться, "забыв" о начальной скорости $v_{0}$): $v_{1} = A$. Постепенно увеличивая начальную скорость, мы придем к такому ее значению, назовем его "критическим", что при $v_{0} > v_{кр}$ тело будет двигаться, не останавливаясь. В этом случае, начиная с момента $t_{кр}$, на тело будет действовать сила $F(t)$ - $\mu mg$, не зависящая от скорости, поэтому $v_{1} = v_{0} + B$. Таким образом, при $t_{кр} < t$ график зависимости $v_{1} = f(v_{0})$ имеет вид, приведенный на рисунке.
Пусть теперь $t_{кр} > t$. Проведя аналогичные рассуждения, мы придем к графику, изображенному на рисунке. Очевидно, что этот график подходит и для последнего возможного случая, когда сила $F(t)$ всегда меньше $\mu mg$ (тело либо остановится до момента $t$, либо будет двигаться с ускорением, не зависящим от скорости).
Итак, мы получили три графика зависимости конечной скорости движения тела от его начальной скорости. При этом точки, заданные в условии задачи ($v_{1} = 5 м/с$ при $v_{0} = 1 м/с$ и $v_{1} = 13 м/с$ при $v_{0} = 10 м/с$), "ложатся* лишь на график, изображенный на рисунке. Таким образом.
$v_{1} = \begin{cases} A & при \: v_{0} \leq v_{кр}, \\ B + v_{0} & при \: v_{0} > v_{кр}. \end{cases}$
"Сшивая" эти два условия с учетом конкретных данных, получим окончательно (рис.):
$v_{1} = \begin{cases} 5 м/с & при \: v_{0} \leq 2 м/с, \\ 3 м/с + v_{0} & при \: v_{0} > 2 м/с. \end{cases}$
На твердое тело, движущееся поступательно по шероховатой горизонтальной поверхности, в момент времени $t_{0} = 0$, когда скорость тела равна $v_{0}$, начинает действовать сила $F(t)$, направленная все время вдоль вектора $\vec{v}_{0}$ и возрастающая со временем. Через время $t$ скорость тела оказывается равной $v_{1}$, причем $v_{1} = 5 м/с$, если $v_{0} = 1 м/с$, и $v_{1} = 13 м/с$, если $v_{0} = 10 м/с$. Определить зависимость $v_{1} = f(v_{0})$ при всех возможных $v_{0}$.
Решение:
Начиная с момента времени $t=0$, на тело действуют две силы - данная сила $F(t)$, возрастающая со временем, и сила трения, которая здесь может принимать значения от 0 до максимальной силы трения покоя, равной силе трения скольжения $F_{тр} = \mu mg$ ($\mu$ - коэффициент трения, $m$ - масса тела). Эти силы направлены противоположно друг другу, поэтому понятно, что характер движения тела будет определяться соотношением между модулями действующих на тело сил, и прежде всего - в начальный момент. Рассмотрим возможные варианты.
Если $F(0) > \mu mg$, то тело с самого начала движется так, что ни ускорение, ни изменение скорости за данный промежуток времени $t$ не зависят от скорости: $v_{t} = v_{0} + C$ (где $C$ - некоторая постоянная). Соответствующий график изображен на рисунке. Нетрудно увидеть, что данные задачи не "ложатся" на этот график. Значит, $F(0) < \mu mg$.
Поскольку сила $F(t)$ с течением времени возрастает, в какой-то момент, назовем его "критическим", она окажется равной максимальной силе трения покоя: $F(t_{кр}) = \mu mg$. Это может произойти либо до указанного момента времени $t$, либо после него (конечно, не исключено, что этого не случится никогда, но об этом - несколько позже).
Пусть $t_{кр} < t$. Тогда тело сначала, до момента $t_{кр}$, движется замедленно, а потом ускоренно. Но здесь тоже возможны два случая: в момент $t_{кр}$ скорость тела либо равна нулю, либо больше нуля. Ясно, что первый случай может быть реализован лишь при достаточно малых начальных скоростях. При этом скорость $v_{1}$ не зависит от скорости $v_{0}$ (тело движется замедленно, останавливается и снова начинает двигаться, "забыв" о начальной скорости $v_{0}$): $v_{1} = A$. Постепенно увеличивая начальную скорость, мы придем к такому ее значению, назовем его "критическим", что при $v_{0} > v_{кр}$ тело будет двигаться, не останавливаясь. В этом случае, начиная с момента $t_{кр}$, на тело будет действовать сила $F(t)$ - $\mu mg$, не зависящая от скорости, поэтому $v_{1} = v_{0} + B$. Таким образом, при $t_{кр} < t$ график зависимости $v_{1} = f(v_{0})$ имеет вид, приведенный на рисунке.
Пусть теперь $t_{кр} > t$. Проведя аналогичные рассуждения, мы придем к графику, изображенному на рисунке. Очевидно, что этот график подходит и для последнего возможного случая, когда сила $F(t)$ всегда меньше $\mu mg$ (тело либо остановится до момента $t$, либо будет двигаться с ускорением, не зависящим от скорости).
Итак, мы получили три графика зависимости конечной скорости движения тела от его начальной скорости. При этом точки, заданные в условии задачи ($v_{1} = 5 м/с$ при $v_{0} = 1 м/с$ и $v_{1} = 13 м/с$ при $v_{0} = 10 м/с$), "ложатся* лишь на график, изображенный на рисунке. Таким образом.
$v_{1} = \begin{cases} A & при \: v_{0} \leq v_{кр}, \\ B + v_{0} & при \: v_{0} > v_{кр}. \end{cases}$
"Сшивая" эти два условия с учетом конкретных данных, получим окончательно (рис.):
$v_{1} = \begin{cases} 5 м/с & при \: v_{0} \leq 2 м/с, \\ 3 м/с + v_{0} & при \: v_{0} > 2 м/с. \end{cases}$
