Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12403
2019-12-31 
Дно сосуда наклонено под углом $\alpha = 45^{ \circ}$ к горизонту. В дне имеется полусферическая выпуклость радиусом $R$ (рисунок). Высота столба жидкости над выпуклостью равна $H$. Какая вертикальная сила действует со стороны жидкости на выпуклый участок дна? Плотность жидкости равна $\rho$.
Решение:
Рассмотрим тело, имеющее форму половины шара радиуса $R$. Предположим, что оно находится в жидкости плотности $\rho$ и ориентировано в пространстве точно так же, как и выпуклость в дне данного сосуда.
Согласно закону Архимеда, на это тело действует выталкивающая сила $\vec{F}$, направленная вертикально вверх и равная по модулю
$F = \rho gV = \rho g \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi R^{3} = \frac{2}{3} \rho g \pi R^{3}$.
С другой стороны, силу $\vec{F}$ можно представить как равнодействующую двух сил давления со стороны жидкости: силы $\vec{F}_{1}$, действующей на "основание" половины шара, и силы $\vec{F}_{2}$, действующей на его боковую поверхность (на рисунке показаны два возможных случая):
$\vec{F} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2}$.
Нас интересует проекция силы $\vec{F}_{2}$ на вертикальную ось (обозначим ее через X и направим вверх):
$F_{2x} = F - F_{1x}$ (для одного случая)
или
$F_{2x} = F_{1x} - F$ (для другого случая).
Для нахождения модуля и проекции силы $\vec{F}_{1}$ заметим, что давление линейно возрастает с глубиной и поэтому можно воспользоваться его средним значением:
$F_{1} = p_{ср} S = \rho g (H + R) \pi R^{2}$,
$F_{1x} = \rho g (H + R) \pi R^{2} \cos \alpha$.
Тогда для искомой величины получим
$F_{2x} = F - F_{1x} = \frac{2}{3} \rho g \pi R^{3} - \rho g (H + R) \pi R^{2} \cos \alpha$
или
$F_{2x} =F_{1x} - F = \rho g (H + R) \pi R^{2} \cos \alpha - \frac{2}{3} \rho g \pi R^{3}$.
При угле $\alpha = 45^{ \circ}$ первый случай оказывается невозможным $\frac{2}{3} < \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2}}{2}$, поэтому $F_{2x} < 0$, чего в данной ситуации быть не может. Таким образом, остается второй случай:
$F_{2x} = \rho g \pi R^{2} \left ((H + R) \cos \alpha - \frac{2}{3} R \right )$.
Дно сосуда наклонено под углом $\alpha = 45^{ \circ}$ к горизонту. В дне имеется полусферическая выпуклость радиусом $R$ (рисунок). Высота столба жидкости над выпуклостью равна $H$. Какая вертикальная сила действует со стороны жидкости на выпуклый участок дна? Плотность жидкости равна $\rho$.
Решение:
Рассмотрим тело, имеющее форму половины шара радиуса $R$. Предположим, что оно находится в жидкости плотности $\rho$ и ориентировано в пространстве точно так же, как и выпуклость в дне данного сосуда.
Согласно закону Архимеда, на это тело действует выталкивающая сила $\vec{F}$, направленная вертикально вверх и равная по модулю
$F = \rho gV = \rho g \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi R^{3} = \frac{2}{3} \rho g \pi R^{3}$.
С другой стороны, силу $\vec{F}$ можно представить как равнодействующую двух сил давления со стороны жидкости: силы $\vec{F}_{1}$, действующей на "основание" половины шара, и силы $\vec{F}_{2}$, действующей на его боковую поверхность (на рисунке показаны два возможных случая):
$\vec{F} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2}$.
Нас интересует проекция силы $\vec{F}_{2}$ на вертикальную ось (обозначим ее через X и направим вверх):
$F_{2x} = F - F_{1x}$ (для одного случая)
или
$F_{2x} = F_{1x} - F$ (для другого случая).
Для нахождения модуля и проекции силы $\vec{F}_{1}$ заметим, что давление линейно возрастает с глубиной и поэтому можно воспользоваться его средним значением:
$F_{1} = p_{ср} S = \rho g (H + R) \pi R^{2}$,
$F_{1x} = \rho g (H + R) \pi R^{2} \cos \alpha$.
Тогда для искомой величины получим
$F_{2x} = F - F_{1x} = \frac{2}{3} \rho g \pi R^{3} - \rho g (H + R) \pi R^{2} \cos \alpha$
или
$F_{2x} =F_{1x} - F = \rho g (H + R) \pi R^{2} \cos \alpha - \frac{2}{3} \rho g \pi R^{3}$.
При угле $\alpha = 45^{ \circ}$ первый случай оказывается невозможным $\frac{2}{3} < \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2}}{2}$, поэтому $F_{2x} < 0$, чего в данной ситуации быть не может. Таким образом, остается второй случай:
$F_{2x} = \rho g \pi R^{2} \left ((H + R) \cos \alpha - \frac{2}{3} R \right )$.
