Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12402
2019-12-31 
По длинному прямому проводнику постоянного сечения течет ток $I_{0}$. На участке АВ проводника (см. рисунок) его удельное сопротивление уменьшается от $\rho_{1}$ в сечении А-А до $\rho_{2}$ в сечении В-В. Какой по величине и знаку объемный заряд образуется на участке АВ?
Решение:
Выделим на участке АВ нашего проводника в произвольном месте бесконечно малый элемент длиной $\Delta l$ (см. рисунок) и запишем для этого элемента закон Ома:
$\Delta U = \frac{I_{0} \rho \Delta l}{S}$.
Здесь $\rho$ - удельное сопротивление проводника в выделенном объеме, a $S$ - сечение проводника. Учитывая, что предел отношения $\frac{ \Delta U}{ \Delta l}$ при $\Delta l \rightarrow 0$ определяет величину напряженности электрического поля ($lim_{ \Delta l \rightarrow 0} \frac{ \Delta U}{ \Delta l} = E$), мы можем записать первое равенство в виде
$E= \rho \frac{I_{0} }{S}$.
Полученное соотношение показывает для любого сечения проводника связь напряженности электрического поля $E$ с удельным сопротивлением проводника в том же сечении.
Пусть в выбранном элементарном объеме образуется объемный заряд $\Delta Q$. Найдем напряженность электрического поля слева ($E_{1}$) и справа ($E_{2}$) от выбранного элемента. Используя принцип суперпозиции электростатических полей, можно записать
$E_{1} = | \vec{E}_{1} | = | \vec{E}_{1} | - \frac{ \Delta Q}{ 2 \epsilon_{0}S }$,
Здесь $| \vec{E}_{l} |$ - напряженность электрического поля в объеме нашего элемента, создаваемая всеми зарядами, кроме заряда $\Delta Q$, а вторые члены учитывают поле заряда $\Delta Q$, которое будет эквивалентно полю вблизи равномерно заряженной поверхности с поверхностной плотностью зарядов $\frac{ \Delta Q}{S}$. Изменение поля на границах элемента
$\Delta E = | \vec{E}_{2} | - | \vec{E}_{1} | = \frac{ \Delta Q}{ \epsilon_{0}S }$.
С другой стороны,
$\Delta E = \Delta \rho \frac{I_{0}}{S}$,
где $\Delta \rho$ - разность удельных сопротивлений проводника справа и слева от выбранного элемента у его границ. Из двух последних равенств мы получаем связь объемного заряда $\Delta Q$ с разностью удельных сопротивлений на его границах:
$\Delta Q = \epsilon_{0}I_{0} \cdot \Delta \rho$.
Объемный заряд на всем участке АВ равен сумме подобных элементарных зарядов, то есть
$Q_{AB} = \sum \Delta Q = \epsilon_{0} I_{0} \sum \Delta \rho = \epsilon_{0}I_{)} ( \rho_{2} - \rho_{1} )$.
Поскольку разность $\rho_{2} - \rho_{1}$ отрицательна (по условию $\rho_{2} < \rho_{1}$), то и объемный заряд на участке проводника АВ будет отрицательным.
По длинному прямому проводнику постоянного сечения течет ток $I_{0}$. На участке АВ проводника (см. рисунок) его удельное сопротивление уменьшается от $\rho_{1}$ в сечении А-А до $\rho_{2}$ в сечении В-В. Какой по величине и знаку объемный заряд образуется на участке АВ?
Решение:
Выделим на участке АВ нашего проводника в произвольном месте бесконечно малый элемент длиной $\Delta l$ (см. рисунок) и запишем для этого элемента закон Ома:
$\Delta U = \frac{I_{0} \rho \Delta l}{S}$.
Здесь $\rho$ - удельное сопротивление проводника в выделенном объеме, a $S$ - сечение проводника. Учитывая, что предел отношения $\frac{ \Delta U}{ \Delta l}$ при $\Delta l \rightarrow 0$ определяет величину напряженности электрического поля ($lim_{ \Delta l \rightarrow 0} \frac{ \Delta U}{ \Delta l} = E$), мы можем записать первое равенство в виде
$E= \rho \frac{I_{0} }{S}$.
Полученное соотношение показывает для любого сечения проводника связь напряженности электрического поля $E$ с удельным сопротивлением проводника в том же сечении.
Пусть в выбранном элементарном объеме образуется объемный заряд $\Delta Q$. Найдем напряженность электрического поля слева ($E_{1}$) и справа ($E_{2}$) от выбранного элемента. Используя принцип суперпозиции электростатических полей, можно записать
$E_{1} = | \vec{E}_{1} | = | \vec{E}_{1} | - \frac{ \Delta Q}{ 2 \epsilon_{0}S }$,
Здесь $| \vec{E}_{l} |$ - напряженность электрического поля в объеме нашего элемента, создаваемая всеми зарядами, кроме заряда $\Delta Q$, а вторые члены учитывают поле заряда $\Delta Q$, которое будет эквивалентно полю вблизи равномерно заряженной поверхности с поверхностной плотностью зарядов $\frac{ \Delta Q}{S}$. Изменение поля на границах элемента
$\Delta E = | \vec{E}_{2} | - | \vec{E}_{1} | = \frac{ \Delta Q}{ \epsilon_{0}S }$.
С другой стороны,
$\Delta E = \Delta \rho \frac{I_{0}}{S}$,
где $\Delta \rho$ - разность удельных сопротивлений проводника справа и слева от выбранного элемента у его границ. Из двух последних равенств мы получаем связь объемного заряда $\Delta Q$ с разностью удельных сопротивлений на его границах:
$\Delta Q = \epsilon_{0}I_{0} \cdot \Delta \rho$.
Объемный заряд на всем участке АВ равен сумме подобных элементарных зарядов, то есть
$Q_{AB} = \sum \Delta Q = \epsilon_{0} I_{0} \sum \Delta \rho = \epsilon_{0}I_{)} ( \rho_{2} - \rho_{1} )$.
Поскольку разность $\rho_{2} - \rho_{1}$ отрицательна (по условию $\rho_{2} < \rho_{1}$), то и объемный заряд на участке проводника АВ будет отрицательным.
