2014-05-31
Мальчик садится на санки в точке $A$ (рис. а), съезжаете с горки и останавливается в точке В. Определите коэффициент трения санок о снег. Где остановятся санки, если мальчик начнет съезжать из точки $A^{\prime}$? Санки при движении не подпрыгивают.
Решение:
Рассмотрим движение санок на малом участке траектории $CC^{\prime}$ длиной $\Delta l$. Изменение потенциальной энергии есть
$\Delta E_{п}= mg (y_{С^{\prime}}- y_{С})=mg \Delta y$.
Силу трения на участке $CC^{\prime}$ можно считать постоянной и равной $F_{T}= \mu mg \cos \alpha$, где $\alpha$ - угол наклона отрезка $CC^{\prime}$ к оси Оx. Работа
силы трения на этом участке есть
$A_{T}= - \mu mg \cos \alpha \Delta l = - \mu mg \Delta x$.
Из закона сохранения энергии следует
$( mv^{2}_{С^{\prime}}- mv^{2}_{С})/2+mg \Delta y = - \mu mg \Delta x$.
Суммируя такие уравнения по всем участкам траектории АВ и учитывая, что скорость в начале и конце движения равна нулю ($v_{A} = v_{B} = 0$), получаем
$mg(y_{A}-y_{B})= -\mu mg (x_{A}-x_{B})$,
откуда
$\mu = (y_{A}-y_{B})/(x_{B}-x_{A})$.
На (рис. б) находим: $\mu \approx 1/9$. Заметим, что $\mu = tg \: \beta$, где $\beta$ - угол наклона AB к оси Ох. Поэтому при движении из точки $A^{\prime}$ cанки остановятся в такой точке $B^{\prime}$, что прямая $A^{\prime}B^{\prime}$ параллельна прямой АВ. Из (рис. б) находим координаты точки $B^{\prime}$: $x \approx 24 м, y \approx 4,3 м$.