Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12399
2019-12-31 
Точечный источник расположен на расстоянии $2F$ от линзы с фокусным расстоянием $F$. На расстоянии $3F$ от линзы расположен экран (см. рисунок). За линзой установлена круглая пластинка радиуса $R$, пропускающая свет неравномерно (радиус пластинки, не меньше радиуса линзы). При этом пятно, получающееся на экране, имеет равномерную максимально возможную, освещенность. Как распределена "пропускная способность" пластинки вдоль ее радиуса?
Решение:
Изображение источника создается на расстоянии $f= \frac{Fd}{F + d} = 2F$ от линзы (см. рисунок) и, следовательно, на расстоянии $F$ от экрана. Радиус $R_{п}$ освещенного пятна на экране определяется соотношением $\frac{R_{л}}{2F} = \fac{R_{п}}{F}$ ($R_{л}$ - радиус линзы), откуда $R_{п} = \frac{R_{л} }{2}$.
В точку экрана, лежащую на расстоянии $r$ от оптической оси $(r \leq R_{п} )$, попадают лучи, выходящие из линзы на расстоянии $2r$ от оси. Освещенность в этой точке экрана (без использования пластинки) равна
$E_{0}(r) = \frac{IF}{(F^{2} + r^{2} ) \sqrt{F^{2} + r^{2} } } = \frac{IF}{(F^{2} + r^{2} )^{3/2} }$
($I$ - сила света источника; потерями света в линзе мы пренебрегаем). При использовании пластинки освещенность в этой точке будет
$E(r) = E_{0}(r) \cdot T(2r) = \frac{IF}{(F^{2} + r^{2} )^{3/2} } T(2r)$,
где $T(2r)$ - "пропускная способность" пластинки в ее точках, находящихся на расстоянии $2r$ от оптической оси. Понятно, что освещенность в любых точках пятна (независимо от $r$) будет одной и той же, если $T(2r) = k(F^{2} + r^{2})^{3/2}$, то есть
$T(r) = k \left ( F^{2} + \frac{r^{2} }{4} \right )^{3/2}$,
где $k$ - некоторый коэффициент пропорциональности.
Поскольку $T(r) \leq 1$, максимальная возможная освещенность во всех точках пятна при использовании пластинки не может быть больше минимальной освещенности пятна, получающегося без пластинки. Минимальная освещенность без пластинки - в точках, лежащих на границе пятна, то есть на расстоянии $R_{п}$ от оптической оси. В эти точки попадают лучи, выходящие из пластины на расстоянии $R_{л}$ от оси. Следовательно, максимальное значение $k$ определяется условием $T(R_{л}) = 1$, то есть
$k = \frac{1}{ \left ( F^{2} + \frac{R_{л}^{2} }{4} \right )^{3/2} }$
Итак, пятно на экране имеет равномерную максимально возможную освещенность, если "пропускная способность* пластинки меняется вдоль ее радиуса по закону
$T(t)= \frac{1}{ \left ( F^{2} + \frac{R_{л}^{2} }{4} \right )^{3/2} } \left ( F^{2} + \frac{r^{2} }{4} \right )^{3/2} = \left ( \frac{4F^{2} + r^{2} }{4F^{2} + R_{л}^{2} } \right )^{3/2}$.
Точечный источник расположен на расстоянии $2F$ от линзы с фокусным расстоянием $F$. На расстоянии $3F$ от линзы расположен экран (см. рисунок). За линзой установлена круглая пластинка радиуса $R$, пропускающая свет неравномерно (радиус пластинки, не меньше радиуса линзы). При этом пятно, получающееся на экране, имеет равномерную максимально возможную, освещенность. Как распределена "пропускная способность" пластинки вдоль ее радиуса?
Решение:
Изображение источника создается на расстоянии $f= \frac{Fd}{F + d} = 2F$ от линзы (см. рисунок) и, следовательно, на расстоянии $F$ от экрана. Радиус $R_{п}$ освещенного пятна на экране определяется соотношением $\frac{R_{л}}{2F} = \fac{R_{п}}{F}$ ($R_{л}$ - радиус линзы), откуда $R_{п} = \frac{R_{л} }{2}$.
В точку экрана, лежащую на расстоянии $r$ от оптической оси $(r \leq R_{п} )$, попадают лучи, выходящие из линзы на расстоянии $2r$ от оси. Освещенность в этой точке экрана (без использования пластинки) равна
$E_{0}(r) = \frac{IF}{(F^{2} + r^{2} ) \sqrt{F^{2} + r^{2} } } = \frac{IF}{(F^{2} + r^{2} )^{3/2} }$
($I$ - сила света источника; потерями света в линзе мы пренебрегаем). При использовании пластинки освещенность в этой точке будет
$E(r) = E_{0}(r) \cdot T(2r) = \frac{IF}{(F^{2} + r^{2} )^{3/2} } T(2r)$,
где $T(2r)$ - "пропускная способность" пластинки в ее точках, находящихся на расстоянии $2r$ от оптической оси. Понятно, что освещенность в любых точках пятна (независимо от $r$) будет одной и той же, если $T(2r) = k(F^{2} + r^{2})^{3/2}$, то есть
$T(r) = k \left ( F^{2} + \frac{r^{2} }{4} \right )^{3/2}$,
где $k$ - некоторый коэффициент пропорциональности.
Поскольку $T(r) \leq 1$, максимальная возможная освещенность во всех точках пятна при использовании пластинки не может быть больше минимальной освещенности пятна, получающегося без пластинки. Минимальная освещенность без пластинки - в точках, лежащих на границе пятна, то есть на расстоянии $R_{п}$ от оптической оси. В эти точки попадают лучи, выходящие из пластины на расстоянии $R_{л}$ от оси. Следовательно, максимальное значение $k$ определяется условием $T(R_{л}) = 1$, то есть
$k = \frac{1}{ \left ( F^{2} + \frac{R_{л}^{2} }{4} \right )^{3/2} }$
Итак, пятно на экране имеет равномерную максимально возможную освещенность, если "пропускная способность* пластинки меняется вдоль ее радиуса по закону
$T(t)= \frac{1}{ \left ( F^{2} + \frac{R_{л}^{2} }{4} \right )^{3/2} } \left ( F^{2} + \frac{r^{2} }{4} \right )^{3/2} = \left ( \frac{4F^{2} + r^{2} }{4F^{2} + R_{л}^{2} } \right )^{3/2}$.
