Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12394
2019-12-31 
В пространстве находятся 1985 несоприкасающихся металлических шаров, заряды которых равны соответственно, $q, - 2q, 3q, -4q, \cdots, 1984q, 1985q$ ($q>0$). Докажите, что среди них есть шар, у которого поверхностная плотность заряда всюду неотрицательна. Расстояния между шарами конечны.
Решение:
Представим себе электростатическое поле заряженных шаров в виде некоторой картины силовых линий. Так как поле внутри каждого шара отсутствует, силовые линии начинаются и кончаются на поверхности шаров.
Возьмем любой шар, например шар А, и найдем на его поверхности место, в котором находится конец какой-нибудь силовой линии (красная линия на рисунке). Если такого места мы не обнаружим, то это будет означать, что шар А и есть искомый - он везде заряжен неотрицательно (ведь силовые линии кончаются на отрицательных зарядах).
Будем переносить положительный пробный заряд из найденного нами на шаре места вдоль силовой линии противоположно ее направлению. Следуя по этому пути, мы придем на поверхность какого-то другого шара В. Пройдем по его поверхности, найдем на ней конец другой силовой линии и вновь пойдем по ней ("навстречу"). Будем продолжать этот процесс, следуя через шары С, D и т. д. (синий пунктир на рисунке).
Справедливы следующие утверждения:
1. Такое движение не уведет нас в бесконечность, так как полный заряд системы -
$Q = q - 2q + 3q - 4q + \cdots - 1984q + 1985q = 993q$
- положителен (по условию $q>0$), и следовательно, силовые линии не приходят из бесконечности. Действительно, во всех точках, достаточно удаленных от нашей системы, которая имеет ограниченные линейные размеры (расстояния между шарами конечны), поле, создаваемое системой, эквивалентно полю точечного положительного заряда, и силовые линии в таких точках направлены от системы и уходят в бесконечность.
2. В нашем путешествии мы не можем побывать снова ни на одном из шаров, которые уже были пройдены. Если бы такое случилось, то это означало бы, что какая-то часть нашего пути является замкнутой линией, чего не может быть в электростатическом поле.
Следовательно, поскольку число шаров конечно, наше передвижение рано или поздно закончится, то есть мы найдем шар, в который силовые линии не входят. Поверхность такого шара повсюду заряжена неотрицательно.
В пространстве находятся 1985 несоприкасающихся металлических шаров, заряды которых равны соответственно, $q, - 2q, 3q, -4q, \cdots, 1984q, 1985q$ ($q>0$). Докажите, что среди них есть шар, у которого поверхностная плотность заряда всюду неотрицательна. Расстояния между шарами конечны.
Решение:
Представим себе электростатическое поле заряженных шаров в виде некоторой картины силовых линий. Так как поле внутри каждого шара отсутствует, силовые линии начинаются и кончаются на поверхности шаров.
Возьмем любой шар, например шар А, и найдем на его поверхности место, в котором находится конец какой-нибудь силовой линии (красная линия на рисунке). Если такого места мы не обнаружим, то это будет означать, что шар А и есть искомый - он везде заряжен неотрицательно (ведь силовые линии кончаются на отрицательных зарядах).
Будем переносить положительный пробный заряд из найденного нами на шаре места вдоль силовой линии противоположно ее направлению. Следуя по этому пути, мы придем на поверхность какого-то другого шара В. Пройдем по его поверхности, найдем на ней конец другой силовой линии и вновь пойдем по ней ("навстречу"). Будем продолжать этот процесс, следуя через шары С, D и т. д. (синий пунктир на рисунке).
Справедливы следующие утверждения:
1. Такое движение не уведет нас в бесконечность, так как полный заряд системы -
$Q = q - 2q + 3q - 4q + \cdots - 1984q + 1985q = 993q$
- положителен (по условию $q>0$), и следовательно, силовые линии не приходят из бесконечности. Действительно, во всех точках, достаточно удаленных от нашей системы, которая имеет ограниченные линейные размеры (расстояния между шарами конечны), поле, создаваемое системой, эквивалентно полю точечного положительного заряда, и силовые линии в таких точках направлены от системы и уходят в бесконечность.
2. В нашем путешествии мы не можем побывать снова ни на одном из шаров, которые уже были пройдены. Если бы такое случилось, то это означало бы, что какая-то часть нашего пути является замкнутой линией, чего не может быть в электростатическом поле.
Следовательно, поскольку число шаров конечно, наше передвижение рано или поздно закончится, то есть мы найдем шар, в который силовые линии не входят. Поверхность такого шара повсюду заряжена неотрицательно.
