Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12392
2019-12-31 
На гладкой горизонтальной плоскости лежат два касающихся друг друга диска, скрепленных нерастяжимой нитью (см. рисунок). Диск радиуса $R$ начинает вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр, причем скорость вращения линейно возрастает со временем. В некоторый момент диск меньшего радиуса $r$ отрывается от большого диска (перестает его касаться). На какой угол повернется к этому моменту большой диск? Трение между дисками отсутствует. Считать, что вся масса диска сосредоточена в его центре.
Решение:
Пусть диск начал вращаться в момент времени $t_{0} = 0$. Тогда в момент времени $t$ угловая скорость диска А равна $\omega_{t} = \beta t$, где $\beta$ - постоянное угловое ускорение, с которым вращается диск. С такой же угловой скоростью движется в этот момент центр диска В по окружности радиуса $R + r$. Линейная скорость диска В при этом равна $v_{t} = \beta t (R + r)$; его центростремительное ускорение - $a_{ц} = ( \beta t)^{2} (R + r)$, а тангенциальное ускорение - $a_{т} = (v_{t} )^{ \prime} = \beta (R + r)$.
В плоскости, в которой происходит движение, на диск В действует сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила нормальной реакции со стороны большого диска $\vec{N}$. Запишем уравнение движения диска В в проекциях на оси X и Y (см. рисунок):
$T \cos \alpha - N = ma_{ц} = m ( \beta t )^{2} (R + r)$,
$T \sin \alpha = ma_{т} = m \beta (R + r)$.
Отсюда находим:
$ctg \alpha = \frac{N}{m \beta (R + r) } + \beta t^{2}$.
В момент отрыва $N=0$, и
$ctg \alpha = \beta t_{отр}^{2}$.
Угол $\phi$, на который повернется за время $t_{отр}$ диск А, равен
$\phi = \beta \frac{t_{отр}^{2} }{2} = \frac{ctg \alpha}{2}$.
Подставляя выражение для $ctg \alpha$ (см. рисунок), находим:
$\phi = \frac{ \sqrt{2Rr - r^{2} } }{2R}$.
На гладкой горизонтальной плоскости лежат два касающихся друг друга диска, скрепленных нерастяжимой нитью (см. рисунок). Диск радиуса $R$ начинает вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр, причем скорость вращения линейно возрастает со временем. В некоторый момент диск меньшего радиуса $r$ отрывается от большого диска (перестает его касаться). На какой угол повернется к этому моменту большой диск? Трение между дисками отсутствует. Считать, что вся масса диска сосредоточена в его центре.
Решение:
Пусть диск начал вращаться в момент времени $t_{0} = 0$. Тогда в момент времени $t$ угловая скорость диска А равна $\omega_{t} = \beta t$, где $\beta$ - постоянное угловое ускорение, с которым вращается диск. С такой же угловой скоростью движется в этот момент центр диска В по окружности радиуса $R + r$. Линейная скорость диска В при этом равна $v_{t} = \beta t (R + r)$; его центростремительное ускорение - $a_{ц} = ( \beta t)^{2} (R + r)$, а тангенциальное ускорение - $a_{т} = (v_{t} )^{ \prime} = \beta (R + r)$.
В плоскости, в которой происходит движение, на диск В действует сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила нормальной реакции со стороны большого диска $\vec{N}$. Запишем уравнение движения диска В в проекциях на оси X и Y (см. рисунок):
$T \cos \alpha - N = ma_{ц} = m ( \beta t )^{2} (R + r)$,
$T \sin \alpha = ma_{т} = m \beta (R + r)$.
Отсюда находим:
$ctg \alpha = \frac{N}{m \beta (R + r) } + \beta t^{2}$.
В момент отрыва $N=0$, и
$ctg \alpha = \beta t_{отр}^{2}$.
Угол $\phi$, на который повернется за время $t_{отр}$ диск А, равен
$\phi = \beta \frac{t_{отр}^{2} }{2} = \frac{ctg \alpha}{2}$.
Подставляя выражение для $ctg \alpha$ (см. рисунок), находим:
$\phi = \frac{ \sqrt{2Rr - r^{2} } }{2R}$.
