Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12389
2019-12-31 
На рисунке показано долевое сечение прибора, используемого в качестве эталона длины. Центральный стержень С и внешняя оболочка А прибора сделаны из материала с коэффициентом теплового расширения $\alpha_{1}$; их длины при $t_{1} = 20^{ \circ} С$ одинаковы и равны $l_{1}$. Внутренняя труба В сделана из материала с коэффициентом теплового расширения $\alpha_{2}$. Какой должна быть длина внутренней трубы при $t_{1} =20^{ \circ} С$, чтобы при изменении температуры полная длина эталона (CD) не менялась?
Решение:
Пусть при температуре $t_{0} = 0^{ \circ} С$ центральный стержень С и внешняя оболочка А имеют длину $l_{10}$, а внутренняя труба В - длину $L_{20}$. Тогда
$l_{1} = l_{10}(1 + \alpha_{1}t_{1} ) \Rightarrow l_{10} = \frac{l_{1} }{1 + \alpha_{1}t_{1} }$,
$l_{2} = l_{20}(1 + \alpha_{2}t_{1} ) \Rightarrow l_{20} = \frac{l_{2} }{1 + \alpha_{2}t_{1} }$,
где $l_{2}$ - искомая длина трубы В при температуре $t_{1} =20^{ \circ} С$. При изменении температуры от $t_{0}$ до $t_{1}$ длины соответствующих деталей изменились на
$\Delta l_{1} = l_{1} - l_{10} = l_{10} \alpha_{1} t_{1}$,
$\Delta l_{2} = l_{2} - l_{20} = l_{20} \alpha_{2} t_{1}$.
Конструкция эталона такова, что при любом изменении температуры изменение длины трубы В должно компенсировать суммарное удлинение деталей А и С. Следовательно, должно выполняться условие $\Delta l_{2} = 2 \Delta l_{1}$, то есть
$l_{20} \alpha_{2} t_{1} = 2l_{10} \alpha_{1}t_{1}$.
Подставляя в это равенство записанные выше выражения для $l_{10}$ и $l_{20}$, находим $l_{2}$:
$l_{2} = 2l_{1} \frac{ \alpha_{1}(1 + \alpha_{2}t_{1} ) }{ \alpha_{2} (1 + \alpha_{1}t_{1} ) } \approx 2l_{1} \frac{ \alpha_{1} }{ \alpha_{2} }$.
На рисунке показано долевое сечение прибора, используемого в качестве эталона длины. Центральный стержень С и внешняя оболочка А прибора сделаны из материала с коэффициентом теплового расширения $\alpha_{1}$; их длины при $t_{1} = 20^{ \circ} С$ одинаковы и равны $l_{1}$. Внутренняя труба В сделана из материала с коэффициентом теплового расширения $\alpha_{2}$. Какой должна быть длина внутренней трубы при $t_{1} =20^{ \circ} С$, чтобы при изменении температуры полная длина эталона (CD) не менялась?
Решение:
Пусть при температуре $t_{0} = 0^{ \circ} С$ центральный стержень С и внешняя оболочка А имеют длину $l_{10}$, а внутренняя труба В - длину $L_{20}$. Тогда
$l_{1} = l_{10}(1 + \alpha_{1}t_{1} ) \Rightarrow l_{10} = \frac{l_{1} }{1 + \alpha_{1}t_{1} }$,
$l_{2} = l_{20}(1 + \alpha_{2}t_{1} ) \Rightarrow l_{20} = \frac{l_{2} }{1 + \alpha_{2}t_{1} }$,
где $l_{2}$ - искомая длина трубы В при температуре $t_{1} =20^{ \circ} С$. При изменении температуры от $t_{0}$ до $t_{1}$ длины соответствующих деталей изменились на
$\Delta l_{1} = l_{1} - l_{10} = l_{10} \alpha_{1} t_{1}$,
$\Delta l_{2} = l_{2} - l_{20} = l_{20} \alpha_{2} t_{1}$.
Конструкция эталона такова, что при любом изменении температуры изменение длины трубы В должно компенсировать суммарное удлинение деталей А и С. Следовательно, должно выполняться условие $\Delta l_{2} = 2 \Delta l_{1}$, то есть
$l_{20} \alpha_{2} t_{1} = 2l_{10} \alpha_{1}t_{1}$.
Подставляя в это равенство записанные выше выражения для $l_{10}$ и $l_{20}$, находим $l_{2}$:
$l_{2} = 2l_{1} \frac{ \alpha_{1}(1 + \alpha_{2}t_{1} ) }{ \alpha_{2} (1 + \alpha_{1}t_{1} ) } \approx 2l_{1} \frac{ \alpha_{1} }{ \alpha_{2} }$.
