Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12388
2019-12-31 
Предмет находится между линзой и плоским зеркалом, перпендикулярным главной оптической оси линзы. Зеркало, линза и предмет заключены в кожух из светопроницаемой матовой пластмассы. Такая система создает два изображения предмета и изображение линзы. Оба изображения предмета имеют одинаковые размеры независимо от расстояния между линзой и предметом. С каким увеличением изображается линза?
Решение:
Линза создает изображение предмета, а также изображение его отражения в зеркале. Поскольку предмет и его изображение в зеркале имеют одинаковые размеры, но находятся на различных расстояниях от линзы, их изображения, создаваемые линзой, не могут иметь одинаковые размеры, если они оба являются действительными или оба мнимыми. В самом деле, для действительного изображения мы можем написать формулу линзы:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$,
где $F$ - фокусное расстояние линзы, $d$ - расстояние между линзой и предметом, $f$ - расстояние между линзой и изображением. Поскольку увеличение определяется формулой $\Gamma = \frac{f}{d}$, то, исключая, с помощью формулы линзы $f$, получаем
$\Gamma = \frac{F}{d - F}$. (1)
Для мнимого изображения формула линзы принимает вид
$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{f}$,
а увеличение задается выражением
$\Gamma = \frac{F}{F - d}$, (2)
Если мы обозначим через $d_{1}$ расстояние от предмета до линзы, через $\Gamma_{1}$ - увеличение, с которым линза изображает этот предмет, через $d_{2}$ - расстояние от линзы до изображения предмета в зеркале и через $\Gamma_{2}$ - увеличение, с которым линза изображает это отражение, то с помощью формул (1) и (2) нетрудно увидеть, что если изображения, создаваемые линзой, оба действительные или оба мнимые, то условие $\Gamma_{1} = \Gamma_{2}$ выполнить невозможно.
Остается предположить, что одно изображение является действительным, а другое - мнимым. Очевидно, что мнимым будет изображение предмета, поскольку он находится ближе к линзе, а изображение его отражения - действительным. Тогда, в соответствии с формулами (1) и (2), мы можем написать:
$\Gamma_{1} = \Gamma_{2} \Rightarrow F - d_{1} = d_{2} - F$. (3)
Но расстояние от линзы до изображения предмета в зеркале равно $d_{2} =2a - d_{1}$, где $a$ - расстояние от линзы до зеркала. Тогда из (3) получаем $a = F$, то есть зеркало расположено в фокальной плоскости линзы. Линза создает изображение собственного отражения в зеркале. Но это отражение имеет те же размеры, что и линза, и расположено на расстоянии $d = 2F$ от нее. Следовательно, согласно формуле (1), линза создает действительное изображение своего отражения в зеркале с увеличением \Gamma =1$.
Предмет находится между линзой и плоским зеркалом, перпендикулярным главной оптической оси линзы. Зеркало, линза и предмет заключены в кожух из светопроницаемой матовой пластмассы. Такая система создает два изображения предмета и изображение линзы. Оба изображения предмета имеют одинаковые размеры независимо от расстояния между линзой и предметом. С каким увеличением изображается линза?
Решение:
Линза создает изображение предмета, а также изображение его отражения в зеркале. Поскольку предмет и его изображение в зеркале имеют одинаковые размеры, но находятся на различных расстояниях от линзы, их изображения, создаваемые линзой, не могут иметь одинаковые размеры, если они оба являются действительными или оба мнимыми. В самом деле, для действительного изображения мы можем написать формулу линзы:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$,
где $F$ - фокусное расстояние линзы, $d$ - расстояние между линзой и предметом, $f$ - расстояние между линзой и изображением. Поскольку увеличение определяется формулой $\Gamma = \frac{f}{d}$, то, исключая, с помощью формулы линзы $f$, получаем
$\Gamma = \frac{F}{d - F}$. (1)
Для мнимого изображения формула линзы принимает вид
$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{f}$,
а увеличение задается выражением
$\Gamma = \frac{F}{F - d}$, (2)
Если мы обозначим через $d_{1}$ расстояние от предмета до линзы, через $\Gamma_{1}$ - увеличение, с которым линза изображает этот предмет, через $d_{2}$ - расстояние от линзы до изображения предмета в зеркале и через $\Gamma_{2}$ - увеличение, с которым линза изображает это отражение, то с помощью формул (1) и (2) нетрудно увидеть, что если изображения, создаваемые линзой, оба действительные или оба мнимые, то условие $\Gamma_{1} = \Gamma_{2}$ выполнить невозможно.
Остается предположить, что одно изображение является действительным, а другое - мнимым. Очевидно, что мнимым будет изображение предмета, поскольку он находится ближе к линзе, а изображение его отражения - действительным. Тогда, в соответствии с формулами (1) и (2), мы можем написать:
$\Gamma_{1} = \Gamma_{2} \Rightarrow F - d_{1} = d_{2} - F$. (3)
Но расстояние от линзы до изображения предмета в зеркале равно $d_{2} =2a - d_{1}$, где $a$ - расстояние от линзы до зеркала. Тогда из (3) получаем $a = F$, то есть зеркало расположено в фокальной плоскости линзы. Линза создает изображение собственного отражения в зеркале. Но это отражение имеет те же размеры, что и линза, и расположено на расстоянии $d = 2F$ от нее. Следовательно, согласно формуле (1), линза создает действительное изображение своего отражения в зеркале с увеличением \Gamma =1$.
