Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12387
2019-12-31 
В схеме, приведенной на рисунке (Д - идеальный диод), ключ К замыкают на время $\tau$, а затем размыкают. В момент размыкания сила тока в катушке индуктивности равна $I_{0}$. Через сколько времени после размыкания ключа ток $I_{L}$ в катушке достигнет максимального значения, если оно равно $2I_{0}$? Построить график зависимости $I_{L}$ от времени $t$ ($0 < t < \infty$).
Решение:
После замыкания ключа К за очень короткий промежуток времени напряжение на конденсаторе и на катушке индуктивности станет равным ЭДС источника $\mathcal{E}$ (см. рис.: $\mathcal{E} = \phi_{A} - \phi_{B}$, ток через диод не течет). В течение времени $\tau$ на конденсаторе будет сохраняться постоянный заряд $q = C \mathcal{E}$, а ток через катушку будет нарастать по линейному закону:
$L \frac{di}{dt} = \mathcal{E} \Rightarrow i = \frac{ \mathcal{E} }{L}t$ ($0 < t \leq \tau$).
В момент $t = \tau$, согласно условию, $i = I_{0}$, то есть
$I_{0} = \frac{ \mathcal{E} }{L} \tau$.
Если в этот момент разомкнуть ключ К, ток через катушку будет продолжать расти со временем за счет разрядки конденсатора, как это происходит в обычном колебательном контуре, то есть по закону синуса с периодом $T = 2 \pi \sqrt{LC}$.
Когда ток достигнет максимального значения, напряжение на катушке индуктивности, диоде, конденсаторе станет равным нулю, то есть конденсатор полностью разрядится. На основании закона сохранения энергии имеем:
$\frac{LI_{0}^{2} }{2} + \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2} = \frac{LI_{max}^{2} }{2}$.
Учитывая, что $I_{max} = 2I_{0} = \frac{2 \mathcal{E} }{L} \tau$, находим $LC = 3 \tau^{2}$.
Значение функции $y = \sin x$изменяется от 0,5 до 1 при изменении аргумента от $\pi /6$ до $\pi /2$, то есть за 1/6 часть периода. Поэтому время $\Delta \tau$, за которое сила тока в катушке изменяется от $I_{0}$ до $2I_{0}$, равно $T/6$, то есть
$\Delta \tau = \frac{ \pi}{3} \tau \sqrt{3} \approx 1,8 \tau$.
В момент времени $t = \tau + \Delta \tau \approx 2,8 \tau$ потенциалы точек А и В сравниваются, сопротивление участка, содержащего диод, в направлении от В к А становится равным нулю. Таким образом, в последующие моменты времени через катушку индуктивности и диод будет течь постоянный ток $I = 2I_{0}$, заряд конденсатора будет равен нулю.
График зависимости $I(t)$ приведен на рисунке.
Необходимо сделать еще одно важное пояснение. В момент времени $t = \tau$ происходит плавный (то есть без скачка производной) переход с линейного участка на часть синусоиды. Это связано с тем, что производной $di/dt$ пропорционально напряжение на катушке индуктивности $U_{L} = LI^{ \prime}$ которое в каждый момент времени равно напряжению на конденсаторе $U_{C} = q/C$. А так как заряд на конденсаторе скачком измениться не может, на графике $I(t)$ не может быть изломов.
В схеме, приведенной на рисунке (Д - идеальный диод), ключ К замыкают на время $\tau$, а затем размыкают. В момент размыкания сила тока в катушке индуктивности равна $I_{0}$. Через сколько времени после размыкания ключа ток $I_{L}$ в катушке достигнет максимального значения, если оно равно $2I_{0}$? Построить график зависимости $I_{L}$ от времени $t$ ($0 < t < \infty$).
Решение:
После замыкания ключа К за очень короткий промежуток времени напряжение на конденсаторе и на катушке индуктивности станет равным ЭДС источника $\mathcal{E}$ (см. рис.: $\mathcal{E} = \phi_{A} - \phi_{B}$, ток через диод не течет). В течение времени $\tau$ на конденсаторе будет сохраняться постоянный заряд $q = C \mathcal{E}$, а ток через катушку будет нарастать по линейному закону:
$L \frac{di}{dt} = \mathcal{E} \Rightarrow i = \frac{ \mathcal{E} }{L}t$ ($0 < t \leq \tau$).
В момент $t = \tau$, согласно условию, $i = I_{0}$, то есть
$I_{0} = \frac{ \mathcal{E} }{L} \tau$.
Если в этот момент разомкнуть ключ К, ток через катушку будет продолжать расти со временем за счет разрядки конденсатора, как это происходит в обычном колебательном контуре, то есть по закону синуса с периодом $T = 2 \pi \sqrt{LC}$.
Когда ток достигнет максимального значения, напряжение на катушке индуктивности, диоде, конденсаторе станет равным нулю, то есть конденсатор полностью разрядится. На основании закона сохранения энергии имеем:
$\frac{LI_{0}^{2} }{2} + \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2} = \frac{LI_{max}^{2} }{2}$.
Учитывая, что $I_{max} = 2I_{0} = \frac{2 \mathcal{E} }{L} \tau$, находим $LC = 3 \tau^{2}$.
Значение функции $y = \sin x$изменяется от 0,5 до 1 при изменении аргумента от $\pi /6$ до $\pi /2$, то есть за 1/6 часть периода. Поэтому время $\Delta \tau$, за которое сила тока в катушке изменяется от $I_{0}$ до $2I_{0}$, равно $T/6$, то есть
$\Delta \tau = \frac{ \pi}{3} \tau \sqrt{3} \approx 1,8 \tau$.
В момент времени $t = \tau + \Delta \tau \approx 2,8 \tau$ потенциалы точек А и В сравниваются, сопротивление участка, содержащего диод, в направлении от В к А становится равным нулю. Таким образом, в последующие моменты времени через катушку индуктивности и диод будет течь постоянный ток $I = 2I_{0}$, заряд конденсатора будет равен нулю.
График зависимости $I(t)$ приведен на рисунке.
Необходимо сделать еще одно важное пояснение. В момент времени $t = \tau$ происходит плавный (то есть без скачка производной) переход с линейного участка на часть синусоиды. Это связано с тем, что производной $di/dt$ пропорционально напряжение на катушке индуктивности $U_{L} = LI^{ \prime}$ которое в каждый момент времени равно напряжению на конденсаторе $U_{C} = q/C$. А так как заряд на конденсаторе скачком измениться не может, на графике $I(t)$ не может быть изломов.
