Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12384
2019-12-31 
С горизонтальной поверхности земли бросили под углом $\alpha = 60^{ \circ}$ к горизонту со скоростью $v_{1} = 12 м/с$ комок сырой глины. Одновременно комок вдвое большей массы бросили навстречу первому под углом $\beta = 30^{ \circ}$ к горизонту, причем начальные скорости комков оказались лежащими в одной вертикальной плоскости. В результате столкновения комки слиплись. Найти скорость (по модулю) упавшего на землю слипшегося комка.
Решение:
Рассмотрим движение центра масс (ц. м.) комков. Скорость ц. м. непосредственно перед ударом о землю равна по модулю скорости ц. м. при бросании комков, причем
$3m \vec{v} = m \vec{v}_{1} + 2m \vec{v}_{2}$, (1)
где $\vec{v}$ - скорость ц. м. при бросании, $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ - скорости комков в этот момент, $m$ - масса меньшего комка.
Поместим начало координат в точке бросания комка массы $m$, направив ось X горизонтально так, чтобы она проходила через точку бросания большего комка, а ось Y - вертикально вверх. Запишем равенство (1) в проекциях на оси X и Y, предварительно разделив обе части его на $m$:
$3v_{x} = v_{1} \cos \alpha - 2v_{2} \cos \beta$, (2)
$3v_{y} = v_{1} \sin \alpha + 2v_{2} \sin \beta$
(здесь $v_{x}$ и $v_{y}$ - проекции $\vec{v}$ на оси X и Y). Скорость $v_{2}$ найдем из условия, что в точке столкновения, которое произошло через время $t$, координата по оси Y у комков одна и та же:
$v_{1}t \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2} = v_{2}t \sin \beta - \frac{gt^{2} }{2}$,
откуда
$v_{2} = v_{1} \frac{ \sin \alpha }{ \sin \beta } = v_{1} \sqrt{3}$.
Подставляя найденное выражение для $v_{2}$ в (2), получаем:
$v_{x} = - \frac{5}{6} v_{1}, v_{y} = \frac{ \sqrt{3} }{2} v_{1}$,
Таким образом, скорость слипшегося комка при ударе о землю -
$v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} } = \frac{ \sqrt{13} }{3} v_{1} \approx 14 м/с$.
С горизонтальной поверхности земли бросили под углом $\alpha = 60^{ \circ}$ к горизонту со скоростью $v_{1} = 12 м/с$ комок сырой глины. Одновременно комок вдвое большей массы бросили навстречу первому под углом $\beta = 30^{ \circ}$ к горизонту, причем начальные скорости комков оказались лежащими в одной вертикальной плоскости. В результате столкновения комки слиплись. Найти скорость (по модулю) упавшего на землю слипшегося комка.
Решение:
Рассмотрим движение центра масс (ц. м.) комков. Скорость ц. м. непосредственно перед ударом о землю равна по модулю скорости ц. м. при бросании комков, причем
$3m \vec{v} = m \vec{v}_{1} + 2m \vec{v}_{2}$, (1)
где $\vec{v}$ - скорость ц. м. при бросании, $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ - скорости комков в этот момент, $m$ - масса меньшего комка.
Поместим начало координат в точке бросания комка массы $m$, направив ось X горизонтально так, чтобы она проходила через точку бросания большего комка, а ось Y - вертикально вверх. Запишем равенство (1) в проекциях на оси X и Y, предварительно разделив обе части его на $m$:
$3v_{x} = v_{1} \cos \alpha - 2v_{2} \cos \beta$, (2)
$3v_{y} = v_{1} \sin \alpha + 2v_{2} \sin \beta$
(здесь $v_{x}$ и $v_{y}$ - проекции $\vec{v}$ на оси X и Y). Скорость $v_{2}$ найдем из условия, что в точке столкновения, которое произошло через время $t$, координата по оси Y у комков одна и та же:
$v_{1}t \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2} = v_{2}t \sin \beta - \frac{gt^{2} }{2}$,
откуда
$v_{2} = v_{1} \frac{ \sin \alpha }{ \sin \beta } = v_{1} \sqrt{3}$.
Подставляя найденное выражение для $v_{2}$ в (2), получаем:
$v_{x} = - \frac{5}{6} v_{1}, v_{y} = \frac{ \sqrt{3} }{2} v_{1}$,
Таким образом, скорость слипшегося комка при ударе о землю -
$v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} } = \frac{ \sqrt{13} }{3} v_{1} \approx 14 м/с$.
