Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12381
2019-12-31 
На цилиндр радиуса $R$ одето равномерно растянутое резиновое кольцо массы $m$. Длина кольца в нерастянутом состоянии равна $\pi R$, жесткость резины - $k$. Цилиндр начинают раскручивать с постоянным угловым ускорением $\beta$. Через какое время кольцо начнет проскальзывать относительно, цилиндра, если коэффициент трения кольца о цилиндр равен $\mu$? Чему будет равна при этом угловая скорость кольца?
Решение:
Рассмотрим маленький элемент кольца, который виден из центра кольца в угле $\Delta \alpha$ (см. рисунок). Масса этого элемента $\Delta m = \frac{m}{2 \pi} \Delta \alpha$. На него действуют сила $\vec{N}$ нормальной реакции со стороны цилиндра, сила трения $\vec{F}_{тр}$ и силы натяжения со стороны соседних участков кольца (силой тяжести мы пренебрегаем). Так как кольцо растянуто равномерно, силы натяжения по абсолютной величине одинаковы и равны $T = k \pi (2R - R) = k \pi R$. Равнодействующая всех этих сил сообщает элементу кольца ускорение $\vec{a}$. Проекция $\vec{a}$ на направление радиуса - это центростремительное ускорение $a_{ \tau}(t)$ в данный момент времени, а проекция $\vec{a}$ на направление касательной к цилиндру - это тангенциальное ускорение $a_{ \tau} (t)$ в данный момент. Поскольку линейная скорость $v(t)$ связана с угловой скоростью $\omega (t)$ соотношением $v(t) = \omega (t)R = \beta Rt$ ($t = 0$ - начало вращения),
$a_{ц}(t) = \frac{(v(t))^{2} }{R} = \beta^{2} Rt^{2}$,
$a_{ \tau}(t) = (v(t))^{ \prime} = \beta R$.
Пусть проскальзывание кольца начинается через время $\tau$ после начала, вращения. Согласно второму закону Ньютона, при $0 < t < \tau$
$2T \frac{ \Delta \alpha}{2} - N(t) = \Delta m \cdot a_{ц}(t) = \frac{m}{2 \pi} \Delta \alpha \cdot \beta^{2} Rt^{2}$, (1)
$F_{тр} = \Delta m \cdot a_{ \tau}(t) = \frac{m}{2 \pi} \cdot \Delta \alpha \cdot \beta R$ (2)
(мы учли, что $\Delta \alpha$ настолько мало, что $\sin \frac{ \Delta \alpha}{2} \approx \frac{ \Delta \alpha}{2}$). Все это время $F_{тр}$ - сила трения покоя. По мере роста скорости сила $N(t)$ уменьшается соответственно уменьшается максимальное значение $\mu \cdot N(t)$ силы трения покоя; в момент времени $\tau$ оно сравняется со значением $F_{тр} = \Delta m \cdot \beta R$ - начнется проскальзывание.
Подставляя в (1) и (2) $t = \tau$ и $F_{тр} = \mu \cdot N ( \tau )$, находим значение $\tau$:
$\tau = \sqrt{ \frac{ \frac{2 \mu k \pi^{2} }{m} - \beta }{ \mu \beta^{2} } }$.
На цилиндр радиуса $R$ одето равномерно растянутое резиновое кольцо массы $m$. Длина кольца в нерастянутом состоянии равна $\pi R$, жесткость резины - $k$. Цилиндр начинают раскручивать с постоянным угловым ускорением $\beta$. Через какое время кольцо начнет проскальзывать относительно, цилиндра, если коэффициент трения кольца о цилиндр равен $\mu$? Чему будет равна при этом угловая скорость кольца?
Решение:
Рассмотрим маленький элемент кольца, который виден из центра кольца в угле $\Delta \alpha$ (см. рисунок). Масса этого элемента $\Delta m = \frac{m}{2 \pi} \Delta \alpha$. На него действуют сила $\vec{N}$ нормальной реакции со стороны цилиндра, сила трения $\vec{F}_{тр}$ и силы натяжения со стороны соседних участков кольца (силой тяжести мы пренебрегаем). Так как кольцо растянуто равномерно, силы натяжения по абсолютной величине одинаковы и равны $T = k \pi (2R - R) = k \pi R$. Равнодействующая всех этих сил сообщает элементу кольца ускорение $\vec{a}$. Проекция $\vec{a}$ на направление радиуса - это центростремительное ускорение $a_{ \tau}(t)$ в данный момент времени, а проекция $\vec{a}$ на направление касательной к цилиндру - это тангенциальное ускорение $a_{ \tau} (t)$ в данный момент. Поскольку линейная скорость $v(t)$ связана с угловой скоростью $\omega (t)$ соотношением $v(t) = \omega (t)R = \beta Rt$ ($t = 0$ - начало вращения),
$a_{ц}(t) = \frac{(v(t))^{2} }{R} = \beta^{2} Rt^{2}$,
$a_{ \tau}(t) = (v(t))^{ \prime} = \beta R$.
Пусть проскальзывание кольца начинается через время $\tau$ после начала, вращения. Согласно второму закону Ньютона, при $0 < t < \tau$
$2T \frac{ \Delta \alpha}{2} - N(t) = \Delta m \cdot a_{ц}(t) = \frac{m}{2 \pi} \Delta \alpha \cdot \beta^{2} Rt^{2}$, (1)
$F_{тр} = \Delta m \cdot a_{ \tau}(t) = \frac{m}{2 \pi} \cdot \Delta \alpha \cdot \beta R$ (2)
(мы учли, что $\Delta \alpha$ настолько мало, что $\sin \frac{ \Delta \alpha}{2} \approx \frac{ \Delta \alpha}{2}$). Все это время $F_{тр}$ - сила трения покоя. По мере роста скорости сила $N(t)$ уменьшается соответственно уменьшается максимальное значение $\mu \cdot N(t)$ силы трения покоя; в момент времени $\tau$ оно сравняется со значением $F_{тр} = \Delta m \cdot \beta R$ - начнется проскальзывание.
Подставляя в (1) и (2) $t = \tau$ и $F_{тр} = \mu \cdot N ( \tau )$, находим значение $\tau$:
$\tau = \sqrt{ \frac{ \frac{2 \mu k \pi^{2} }{m} - \beta }{ \mu \beta^{2} } }$.
