Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12380
2019-12-31 
Самолеты летят по одной прямой навстречу друг другу с одинаковой скоростью $v$. Предельная дальность обнаружения - $l$. Один самолет после обнаружения другого совершает разворот, не меняя значения скорости, и летит параллельно второму самолету, который продолжает лететь со скоростью $\vec{v}$. Потеряют ли самолеты друг друга из виду после разворота, если ускорение при повороте равно $a$? Спустя какое время после обнаружения надо начинать разворот, чтобы в конце разворота расстояние между самолетами оказалось наименьшим?
Решение:
Радиус разворота найдем из уравнения $a = \frac{v^{2}}{R}$:
$R = \frac{v^{2}}{a}$.
Время, за которое происходит разворот, -
$T = \frac{ \pi R}{v}$.
Направим ось X по начальной скорости первого самолета, а начало координат возьмем в начальной точке разворота. Если разворот начат через время $\tau$ после обнаружения, то координата $x$ второго самолета к концу разворота будет
$x = l - 2vt - vT = l - \pi R - 2v \tau$;
к этому моменту координата $y$ первого самолета будет $y = 2R$ (см. рисунок). Поэтому расстояние между самолетами после разворота определяется равенством
$L^{2} = x^{2} + y^{2} =(l - \pi R - 2v \tau )^{2} + 4R^{2}$.
Понятно, что значение $L ( \tau )$ минимально при минимально возможном значении $| x ( \tau ) |$ ($y$ не зависит от $\tau$). В связи с этим возникают два случая: при $l \geq \pi R$ наименьшее $L = 2R$ достигается при $x = 0$, то есть когда
$\tau = \frac{l - \pi R}{2 v} = \frac{1}{2} \left ( \frac{l}{v} - \frac{ \pi v}{a} \right )$;
при $l < \pi R$ значение $L$ минимально при $\tau = 0$ и равно
$L = \sqrt{4R^{2} + (l - \pi R)^{2}}$.
В случае $l \geq \pi R$ наименьшее значение $L = 2R$ заведомо меньше предельной дальности обнаружения. Найдем, при каком наименьшем $l = l_{0}$ самолеты останутся еще в пределах видимости после разворота, то есть когда
$L^{2} = 4R^{2} + (l_{0} - \pi R)^{2} = l_{0}^{2}$.
Разрешая это уравнение относительно $l_{0}$, получим
$l_{0} = \frac{4 + \pi^{2} }{2 \pi} R = \frac{4 + \pi^{2} }{2 \pi} \frac{v^{2} }{a}$.
Итак, при $l \geq l_{0}$ самолеты не потеряют друг друга из виду. В противоположном случае ($l < l_{0}$) после разворота они окажутся вне пределов обнаружения.
Самолеты летят по одной прямой навстречу друг другу с одинаковой скоростью $v$. Предельная дальность обнаружения - $l$. Один самолет после обнаружения другого совершает разворот, не меняя значения скорости, и летит параллельно второму самолету, который продолжает лететь со скоростью $\vec{v}$. Потеряют ли самолеты друг друга из виду после разворота, если ускорение при повороте равно $a$? Спустя какое время после обнаружения надо начинать разворот, чтобы в конце разворота расстояние между самолетами оказалось наименьшим?
Решение:
Радиус разворота найдем из уравнения $a = \frac{v^{2}}{R}$:
$R = \frac{v^{2}}{a}$.
Время, за которое происходит разворот, -
$T = \frac{ \pi R}{v}$.
Направим ось X по начальной скорости первого самолета, а начало координат возьмем в начальной точке разворота. Если разворот начат через время $\tau$ после обнаружения, то координата $x$ второго самолета к концу разворота будет
$x = l - 2vt - vT = l - \pi R - 2v \tau$;
к этому моменту координата $y$ первого самолета будет $y = 2R$ (см. рисунок). Поэтому расстояние между самолетами после разворота определяется равенством
$L^{2} = x^{2} + y^{2} =(l - \pi R - 2v \tau )^{2} + 4R^{2}$.
Понятно, что значение $L ( \tau )$ минимально при минимально возможном значении $| x ( \tau ) |$ ($y$ не зависит от $\tau$). В связи с этим возникают два случая: при $l \geq \pi R$ наименьшее $L = 2R$ достигается при $x = 0$, то есть когда
$\tau = \frac{l - \pi R}{2 v} = \frac{1}{2} \left ( \frac{l}{v} - \frac{ \pi v}{a} \right )$;
при $l < \pi R$ значение $L$ минимально при $\tau = 0$ и равно
$L = \sqrt{4R^{2} + (l - \pi R)^{2}}$.
В случае $l \geq \pi R$ наименьшее значение $L = 2R$ заведомо меньше предельной дальности обнаружения. Найдем, при каком наименьшем $l = l_{0}$ самолеты останутся еще в пределах видимости после разворота, то есть когда
$L^{2} = 4R^{2} + (l_{0} - \pi R)^{2} = l_{0}^{2}$.
Разрешая это уравнение относительно $l_{0}$, получим
$l_{0} = \frac{4 + \pi^{2} }{2 \pi} R = \frac{4 + \pi^{2} }{2 \pi} \frac{v^{2} }{a}$.
Итак, при $l \geq l_{0}$ самолеты не потеряют друг друга из виду. В противоположном случае ($l < l_{0}$) после разворота они окажутся вне пределов обнаружения.
