Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1238
2016-10-20 
Имеются большой конденсатор ёмкостью $C = 1 мкФ$, заряженный зарядом $Q = 100 мкКл$, и $N = 1000$ маленьких незаряженных конденсаторов ёмкостью $C_{1} = 1 нФ$ каждый. Требуется изготовить из маленьких конденсаторов батарею, которая одновременно имела бы максимально возможную ёмкость и максимально возможный заряд. Найдите этот заряд $q$ и опишите процедуру изготовления батареи. Маленькие конденсаторы можно только соединять друг с другом и с большим конденсатором.
Решение:
Прежде всего, понятно, что максимально возможная ёмкость будет у батареи тогда, когда все маленькие конденсаторы будут соединены параллельно. Вопрос состоит только в том, как проводить процедуру зарядки и соединения маленьких конденсаторов. Можно, например, сначала соединить все маленькие конденсаторы параллельно, а затем присоединить получившуюся батарею параллельно к большому конденсатору. В этом случае разность потенциалов между обкладками конденсаторов после соединения будет равна:
$\Delta \phi = \frac{Q}{C+N \cdot (C/N)} = \frac{Q}{2C}$
а заряд, который приобретёт батарея, будет равен $q^{ \prime} = Q/2$. Здесь учтено, что ёмкость маленького конденсатора в $ = 1000$ раз меньше ёмкости большого конденсатора: $C_{1} = C/N$. Таким образом, при этом способе зарядки заряд большого конденсатора просто делится пополам.
Однако, можно сначала заряжать маленькие конденсаторы, а потом собирать из них батарею. Ясно, что заряжать конденсаторы нужно так, чтобы заряд каждого был по возможности максимальным. Поэтому бессмысленно подсоединять к большому конденсатору несколько параллельно соединённых маленьких конденсаторов — выгоднее сначала подсоединить их по отдельности, а потом уже соединить их параллельно. Также очевидно, что невыгодно подсоединять к большому конденсатору несколько последовательно соединённых маленьких конденсаторов — ведь снимаемый с большого конденсатора заряд пропорционален ёмкости, а при последовательном соединении конденсаторов ёмкость батареи получается меньше, чем исходная ёмкость любого из составляющих её элементов. Значит, самый выгодный способ создания батареи — по очереди подсоединять к большому конденсатору все маленькие конденсаторы, а уже затем собрать из них батарею.
Найдём разность потенциалов $\Delta \phi^{(1)}$ между обкладками большого конденсатора и его заряд $Q^{(1)}$ после того, как к нему будет подсоединён первый маленький незаряженный конденсатор:
$\Delta \phi^{(1)} = \frac{Q}{C+(C/N)}, Q^{(1)} = C \Delta \phi^{(1)} = \frac{Q}{1 + (1/N)}$.
Аналогично, заряд большого конденсатора после подключения к нему второго маленького незаряженного конденсатора:
$Q^{(2)} = C \Delta \phi^{(2)} = \frac{Q^{(1)}}{1+(1/N)} = \frac{Q}{(1 + (1/N))^{2}}$.
Продолжая эту процедуру далее, получим, что после подключения $N$-го маленького незаряженного конденсатора большой конденсатор будет иметь заряд:
$Q^{(N)} = \frac{Q}{(1 + (1/N))^{N}}$.
Заметим, что поскольку $N$ достаточно велико, то справедливо следующее приближённое равенство: $\left ( 1 + \frac{1}{1000} \right )^{1000} \approx e \approx 2,72$, где число $e$ — основание натуральных логарифмов. Итак, после всех манипуляций на большом конденсаторе окажется заряд $Q/e$, а на маленьких конденсаторах — суммарный заряд
$q = Q(1 - e^{-1}) \approx 0,63Q$.
Заметим, что заряд получившейся батареи больше, чем заряд, оставшийся на большом конденсаторе.
Имеются большой конденсатор ёмкостью $C = 1 мкФ$, заряженный зарядом $Q = 100 мкКл$, и $N = 1000$ маленьких незаряженных конденсаторов ёмкостью $C_{1} = 1 нФ$ каждый. Требуется изготовить из маленьких конденсаторов батарею, которая одновременно имела бы максимально возможную ёмкость и максимально возможный заряд. Найдите этот заряд $q$ и опишите процедуру изготовления батареи. Маленькие конденсаторы можно только соединять друг с другом и с большим конденсатором.
Решение:
Прежде всего, понятно, что максимально возможная ёмкость будет у батареи тогда, когда все маленькие конденсаторы будут соединены параллельно. Вопрос состоит только в том, как проводить процедуру зарядки и соединения маленьких конденсаторов. Можно, например, сначала соединить все маленькие конденсаторы параллельно, а затем присоединить получившуюся батарею параллельно к большому конденсатору. В этом случае разность потенциалов между обкладками конденсаторов после соединения будет равна:
$\Delta \phi = \frac{Q}{C+N \cdot (C/N)} = \frac{Q}{2C}$
а заряд, который приобретёт батарея, будет равен $q^{ \prime} = Q/2$. Здесь учтено, что ёмкость маленького конденсатора в $ = 1000$ раз меньше ёмкости большого конденсатора: $C_{1} = C/N$. Таким образом, при этом способе зарядки заряд большого конденсатора просто делится пополам.
Однако, можно сначала заряжать маленькие конденсаторы, а потом собирать из них батарею. Ясно, что заряжать конденсаторы нужно так, чтобы заряд каждого был по возможности максимальным. Поэтому бессмысленно подсоединять к большому конденсатору несколько параллельно соединённых маленьких конденсаторов — выгоднее сначала подсоединить их по отдельности, а потом уже соединить их параллельно. Также очевидно, что невыгодно подсоединять к большому конденсатору несколько последовательно соединённых маленьких конденсаторов — ведь снимаемый с большого конденсатора заряд пропорционален ёмкости, а при последовательном соединении конденсаторов ёмкость батареи получается меньше, чем исходная ёмкость любого из составляющих её элементов. Значит, самый выгодный способ создания батареи — по очереди подсоединять к большому конденсатору все маленькие конденсаторы, а уже затем собрать из них батарею.
Найдём разность потенциалов $\Delta \phi^{(1)}$ между обкладками большого конденсатора и его заряд $Q^{(1)}$ после того, как к нему будет подсоединён первый маленький незаряженный конденсатор:
$\Delta \phi^{(1)} = \frac{Q}{C+(C/N)}, Q^{(1)} = C \Delta \phi^{(1)} = \frac{Q}{1 + (1/N)}$.
Аналогично, заряд большого конденсатора после подключения к нему второго маленького незаряженного конденсатора:
$Q^{(2)} = C \Delta \phi^{(2)} = \frac{Q^{(1)}}{1+(1/N)} = \frac{Q}{(1 + (1/N))^{2}}$.
Продолжая эту процедуру далее, получим, что после подключения $N$-го маленького незаряженного конденсатора большой конденсатор будет иметь заряд:
$Q^{(N)} = \frac{Q}{(1 + (1/N))^{N}}$.
Заметим, что поскольку $N$ достаточно велико, то справедливо следующее приближённое равенство: $\left ( 1 + \frac{1}{1000} \right )^{1000} \approx e \approx 2,72$, где число $e$ — основание натуральных логарифмов. Итак, после всех манипуляций на большом конденсаторе окажется заряд $Q/e$, а на маленьких конденсаторах — суммарный заряд
$q = Q(1 - e^{-1}) \approx 0,63Q$.
Заметим, что заряд получившейся батареи больше, чем заряд, оставшийся на большом конденсаторе.
