Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12379
2019-12-31 
Два металлических шара массы $m$ каждый с радиусами $r$ и $2r$ помещены в электрическое поле, напряженность которого направлена от большего шара к меньшему и равна $E$. Расстояние между центрами шаров равно $R_{0} = 4r$. Большой шар несет заряд $q$ ($k \frac{q}{r^{2} } \ll E$), малый шар не заряжен. Шары отпускают. Время между первым и вторым соударениями шаров равно $\tau$. Найти время между $n$-м и $(n - 1)$-м соударениями и пути, которые пройдут шары между этими соударениями. Чему равно среднее ускорение шаров за достаточно большой промежуток времени? Соударения считать абсолютно упругими.
Решение:
Когда шары отпускают, маленький шар остается неподвижным (действие силы тяжести, не учитываем). Большой шар начинает двигаться с ускорением $a = \frac{qE}{m}$; через время $t = \sqrt{ \frac{2(R_{0} - 3r )}{a} } = \sqrt{ \frac{2r}{a} }$ он подойдет к меньшему шару, имея скорость $u = at = \sqrt{2ra}$. В результате соударения шары обменяются скоростями: большой шар сразу после соударения будет иметь скорость 0, а маленький - скорость $u = \sqrt{2ra}$. Так как шары металлические, при соударении заряд $q$ распределится по обоим шарам. Пусть $\alpha q$ - заряд большего шара после соударения ($\alpha < 1$); тогда заряд меньшего шара; будет $(1 - \alpha )q$. Понятно, что при следующих соударениях заряды шаров меняться не будут. Ускорения, с которыми будут двигаться шары между соударениями, - $\frac{ \alpha qE}{m} = \alpha a$ (большой шар) и $\frac{ (1 - \alpha)qE}{m} = (1 - \alpha )a$ (меньший шар). При каждом соударении шары будут обмениваться скоростями.
Второе соударение произойдет через время $\tau$ после первого. Из условия равенства путей, пройденных шарами между первым и вторым; соударениями,-
$\frac{ \alpha a}{2} \tau^{2} = \sqrt{2ra} \tau + \frac{(1 - \alpha )a}{2} \tau^{2}$,
- найдем значение $\alpha a$:
$\alpha a = \frac{1}{2} a + \frac{ \sqrt{2r a} }{ \tau}$.
Перед вторым соударением больший шар имеет скорость $\alpha a \tau = \frac{1}{2} a \tau + \sqrt{2ra}$, а меньший - $\sqrt{2ra} + (1 - \alpha)a \tau = \frac{a \tau}{2}$.
Для определения времени между вторым и третьим соударениями перейдем в систему координат, движущуюся со скоростью $a \tau /2$ (скорость большего шара сразу после второго соударения). В этой системе в первый момент времени большой; шар имеет скорость 0, а меньший - $\sqrt{2ra}$. Но это значит, что время между вторым и третьим соударениями также равно $\tau$.
Рассуждая аналогичным путем, придем к выводу, что времена между всеми последовательными столкновениями равны $\tau$.
Из проведенных расчетов ясно, что скорость) большего шара после $n$-го соударения равна $\frac{a \tau}{2} (n-1)$. Учитывая это, найдем путь, проходимый шарами между $n$-м и $(n + 1)$-м соударениями:
$S = \frac{a \tau}{2}(n - 1) \tau + \frac{ \alpha a}{2} \tau^{2} = \frac{a \tau^{2} }{2} \left ( n - \frac{1}{2} \right ) + \frac{ \sqrt{2ra} }{2}$.
Среднее ускорение, с которым будет двигаться система (центр масс шаров), равно
$a_{ц.м.} = \frac{qF}{2m}$.
Два металлических шара массы $m$ каждый с радиусами $r$ и $2r$ помещены в электрическое поле, напряженность которого направлена от большего шара к меньшему и равна $E$. Расстояние между центрами шаров равно $R_{0} = 4r$. Большой шар несет заряд $q$ ($k \frac{q}{r^{2} } \ll E$), малый шар не заряжен. Шары отпускают. Время между первым и вторым соударениями шаров равно $\tau$. Найти время между $n$-м и $(n - 1)$-м соударениями и пути, которые пройдут шары между этими соударениями. Чему равно среднее ускорение шаров за достаточно большой промежуток времени? Соударения считать абсолютно упругими.
Решение:
Когда шары отпускают, маленький шар остается неподвижным (действие силы тяжести, не учитываем). Большой шар начинает двигаться с ускорением $a = \frac{qE}{m}$; через время $t = \sqrt{ \frac{2(R_{0} - 3r )}{a} } = \sqrt{ \frac{2r}{a} }$ он подойдет к меньшему шару, имея скорость $u = at = \sqrt{2ra}$. В результате соударения шары обменяются скоростями: большой шар сразу после соударения будет иметь скорость 0, а маленький - скорость $u = \sqrt{2ra}$. Так как шары металлические, при соударении заряд $q$ распределится по обоим шарам. Пусть $\alpha q$ - заряд большего шара после соударения ($\alpha < 1$); тогда заряд меньшего шара; будет $(1 - \alpha )q$. Понятно, что при следующих соударениях заряды шаров меняться не будут. Ускорения, с которыми будут двигаться шары между соударениями, - $\frac{ \alpha qE}{m} = \alpha a$ (большой шар) и $\frac{ (1 - \alpha)qE}{m} = (1 - \alpha )a$ (меньший шар). При каждом соударении шары будут обмениваться скоростями.
Второе соударение произойдет через время $\tau$ после первого. Из условия равенства путей, пройденных шарами между первым и вторым; соударениями,-
$\frac{ \alpha a}{2} \tau^{2} = \sqrt{2ra} \tau + \frac{(1 - \alpha )a}{2} \tau^{2}$,
- найдем значение $\alpha a$:
$\alpha a = \frac{1}{2} a + \frac{ \sqrt{2r a} }{ \tau}$.
Перед вторым соударением больший шар имеет скорость $\alpha a \tau = \frac{1}{2} a \tau + \sqrt{2ra}$, а меньший - $\sqrt{2ra} + (1 - \alpha)a \tau = \frac{a \tau}{2}$.
Для определения времени между вторым и третьим соударениями перейдем в систему координат, движущуюся со скоростью $a \tau /2$ (скорость большего шара сразу после второго соударения). В этой системе в первый момент времени большой; шар имеет скорость 0, а меньший - $\sqrt{2ra}$. Но это значит, что время между вторым и третьим соударениями также равно $\tau$.
Рассуждая аналогичным путем, придем к выводу, что времена между всеми последовательными столкновениями равны $\tau$.
Из проведенных расчетов ясно, что скорость) большего шара после $n$-го соударения равна $\frac{a \tau}{2} (n-1)$. Учитывая это, найдем путь, проходимый шарами между $n$-м и $(n + 1)$-м соударениями:
$S = \frac{a \tau}{2}(n - 1) \tau + \frac{ \alpha a}{2} \tau^{2} = \frac{a \tau^{2} }{2} \left ( n - \frac{1}{2} \right ) + \frac{ \sqrt{2ra} }{2}$.
Среднее ускорение, с которым будет двигаться система (центр масс шаров), равно
$a_{ц.м.} = \frac{qF}{2m}$.
