Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12378
2019-12-31 
Проводник, сопротивление которого зависит от температуры, подключили к источнику постоянного напряжения $U$. Сопротивление проводника меняется в зависимости от температуры по закону $R = R_{0}(1 - \mu t)$, где $R_{0}$ - сопротивление при $t = 0^{ \circ} С, \mu > 0$. Определить установившуюся температуру проводника, если температура окружающей среды равна $0^{ \circ} С$, а тепловая мощность, выделяемая проводником в окружающую среду, равна $W = b \cdot \Delta t$, где $\Delta t$ - разность температур проводника и среды. Изменением размеров проводника из-за теплового расширения пренебречь.
Решение:
Тепловая мощность, выделяющаяся в проводнике, когда он подключен к источнику с напряжением $U$, равна
$W_{+} = \frac{U^{2} }{R} = \frac{U^{2} }{R_{0}(1 - \mu t) }$.
Проводник будет находиться в тепловом равновесии, если эта мощность будет равна тепловой мощности $W_{-} = bt$, выделяемой проводником в окружающую среду. Из условия $W_{+} = W_{-}$ найдем, при каких температурах возможно тепловое равновесие проводника:
$\frac{U^{2} }{R_{0}(1 - \mu t)} = bt$,
откуда
$t = \frac{1}{2 \mu} \pm \sqrt{ \frac{1}{4 \mu^{2} } - \frac{U^{2} }{R_{0} b \mu } } = \frac{1}{2 \mu} \left ( 1 \pm \sqrt{1 - U^{2} \frac{4 \mu}{R_{0}b } } \right )$.
Перепишем подкоренное выражение в виде
$1 - \left ( \frac{U}{U_{0}} \right )^{2}$, где $U_{0} = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{R_{0}b }{ \mu} }$:
$t = \frac{1}{2 \mu} \left ( 1 \pm \sqrt{ 1 - \left ( \frac{U}{U_{0} } \right )^{2} } \right )$ (*)
(физический смысл параметра $U_{0}$, имеющего размерность напряжения, станет ясным после анализа решений уравнения (*)).
Рассмотрим три возможных случая:
a) $U < U_{0}$; уравнение (*) имеет два решения:
$t_{1} = \frac{1}{2 \mu} \left ( 1 - \sqrt{ 1 - \left ( \frac{U}{U_{0} } \right )^{2} } \right ), t_{2} = \frac{1}{2 \mu} \left ( 1 + \sqrt{ 1 - \left ( \frac{U}{U_{0} } \right )^{2} } \right )$.
б) $U=U_{0}$; решение уравнения (*) -
$t_{0} = \frac{1}{2 \mu}$.
в) $U > U_{0}$; уравнение (*) не имеет действительных корней. Это означает, что при условии $U > U_{0}$ тепловое равновесие невозможно.
Чтобы лучше уяснить физический смысл полученных математических выражений, построим графики функций $W_{+}(t)$ и $W_{-}(t)$ для случаев а), б) и в).
В случае а) графики этих функций имеют две общие точки, соответствующие состояниям теплового равновесия, - при $t = t_{1}$ и при $t = t_{2}$. Однако при $t = t_{2}$ равновесие неустойчиво: если $t_{1} < t < t_{2}$, то $W_{-} > W_{+}$ - происходит охлаждение провода; если $t > t_{2}$, то $W_{+} > W_{-}$ - провод нагревается (в принципе - до температуры плавления). Устойчивое тепловое равновесие устанавливается при температуре $t = t_{1}$.
В случае б) графики $W_{+}(t)$ и $W_{-}(t)$ имеют одну общую точку - при $t = t_{0}$. Но и это равновесное состояние неустойчиво: с повышением температуры ($t > t_{0}$) $W_{+}(t)$ растет быстрее, чем $W_{-}(t)$, - провод разогревается.
В случае в) графики не пересекаются - при $U > U_{0}$ тепловое равновесие невозможно.
Итак, тепловое равновесие провода возможно при $U < \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{R_{0}b }{ \mu} }$; установившаяся температура
$t = \frac{1}{2 \mu} \left ( 1 - \sqrt{1 - U^{2} \frac{4 \mu}{R_{0}b } } \right )$.
Проводник, сопротивление которого зависит от температуры, подключили к источнику постоянного напряжения $U$. Сопротивление проводника меняется в зависимости от температуры по закону $R = R_{0}(1 - \mu t)$, где $R_{0}$ - сопротивление при $t = 0^{ \circ} С, \mu > 0$. Определить установившуюся температуру проводника, если температура окружающей среды равна $0^{ \circ} С$, а тепловая мощность, выделяемая проводником в окружающую среду, равна $W = b \cdot \Delta t$, где $\Delta t$ - разность температур проводника и среды. Изменением размеров проводника из-за теплового расширения пренебречь.
Решение:
Тепловая мощность, выделяющаяся в проводнике, когда он подключен к источнику с напряжением $U$, равна
$W_{+} = \frac{U^{2} }{R} = \frac{U^{2} }{R_{0}(1 - \mu t) }$.
Проводник будет находиться в тепловом равновесии, если эта мощность будет равна тепловой мощности $W_{-} = bt$, выделяемой проводником в окружающую среду. Из условия $W_{+} = W_{-}$ найдем, при каких температурах возможно тепловое равновесие проводника:
$\frac{U^{2} }{R_{0}(1 - \mu t)} = bt$,
откуда
$t = \frac{1}{2 \mu} \pm \sqrt{ \frac{1}{4 \mu^{2} } - \frac{U^{2} }{R_{0} b \mu } } = \frac{1}{2 \mu} \left ( 1 \pm \sqrt{1 - U^{2} \frac{4 \mu}{R_{0}b } } \right )$.
Перепишем подкоренное выражение в виде
$1 - \left ( \frac{U}{U_{0}} \right )^{2}$, где $U_{0} = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{R_{0}b }{ \mu} }$:
$t = \frac{1}{2 \mu} \left ( 1 \pm \sqrt{ 1 - \left ( \frac{U}{U_{0} } \right )^{2} } \right )$ (*)
(физический смысл параметра $U_{0}$, имеющего размерность напряжения, станет ясным после анализа решений уравнения (*)).
Рассмотрим три возможных случая:
a) $U < U_{0}$; уравнение (*) имеет два решения:
$t_{1} = \frac{1}{2 \mu} \left ( 1 - \sqrt{ 1 - \left ( \frac{U}{U_{0} } \right )^{2} } \right ), t_{2} = \frac{1}{2 \mu} \left ( 1 + \sqrt{ 1 - \left ( \frac{U}{U_{0} } \right )^{2} } \right )$.
б) $U=U_{0}$; решение уравнения (*) -
$t_{0} = \frac{1}{2 \mu}$.
в) $U > U_{0}$; уравнение (*) не имеет действительных корней. Это означает, что при условии $U > U_{0}$ тепловое равновесие невозможно.
Чтобы лучше уяснить физический смысл полученных математических выражений, построим графики функций $W_{+}(t)$ и $W_{-}(t)$ для случаев а), б) и в).
В случае а) графики этих функций имеют две общие точки, соответствующие состояниям теплового равновесия, - при $t = t_{1}$ и при $t = t_{2}$. Однако при $t = t_{2}$ равновесие неустойчиво: если $t_{1} < t < t_{2}$, то $W_{-} > W_{+}$ - происходит охлаждение провода; если $t > t_{2}$, то $W_{+} > W_{-}$ - провод нагревается (в принципе - до температуры плавления). Устойчивое тепловое равновесие устанавливается при температуре $t = t_{1}$.
В случае б) графики $W_{+}(t)$ и $W_{-}(t)$ имеют одну общую точку - при $t = t_{0}$. Но и это равновесное состояние неустойчиво: с повышением температуры ($t > t_{0}$) $W_{+}(t)$ растет быстрее, чем $W_{-}(t)$, - провод разогревается.
В случае в) графики не пересекаются - при $U > U_{0}$ тепловое равновесие невозможно.
Итак, тепловое равновесие провода возможно при $U < \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{R_{0}b }{ \mu} }$; установившаяся температура
$t = \frac{1}{2 \mu} \left ( 1 - \sqrt{1 - U^{2} \frac{4 \mu}{R_{0}b } } \right )$.
