Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12377
2019-12-31 
Сферу радиуса $R$, составленную из двух одинаковых плотно пригнанных тонкостенных полусфер массы $m$ каждая, наполняют жидкостью с плотностью $\rho$.
1) Какую вертикальную силу надо приложить к нижней полусфере, чтобы жидкость не выливалась, если верхняя сфера закреплена (рис.)?
2) С какой силой надо сжимать левую и правую полусферы (рис.). чтобы жидкость не выливалась?
Решение:
1) Рассмотрим условие равновесия нижней полусферы, заполненной жидкостью. На эту систему действуют сила тяжести
$F = mg + \rho g \cdot \frac{2}{3} \pi R^{3}$,
сила $F_{1}$ давления со стороны жидкости из верхней полусферы; вертикальная сила $F_{y}$, которую надо приложить к полусфере, чтобы жидкость не выливалась, определяется условием равновесия:
$F_{y} = F + F_{1}$.
Согласно закону Паскаля давление в жидкости в центре сферы равно
$p_{1} = \rho g R$,
и, следовательно,
$F_{1} = p_{1} \pi R^{2} = \rho g \pi R^{3}$,
Таким образом,
$F_{y} = mg + \frac{2}{3} \rho g \pi R^{3} + \rho g \pi R^{3} = g \left ( m + \frac{5}{8} \rho \pi R^{3} \right )$.
2) Запишем условие равновесия заполненной жидкостью правой полусферы (см. рис.) в проекциях на горизонтальную ось:
$F_{2} = F_{x}$,
где $F_{2}$ - сила давления на правую полусферу со стороны жидкости в левой полусфере, $F_{x}$ - сила, которую необходимо приложить к правой полусфере, чтобы жидкость не выливалась.
Найдем значение $F_{2}$. Давление жидкости внутри сферы линейно возрастает по мере увеличения глубины от 0 до $2 \rho gR$. Следовательно,
$F_{2} = \sum_{i} p_{i}s_{i} = p_{ср}S = \rho g R \pi R^{2} = \rho g \pi R^{3}$
(здесь $p_{i}$ - давление на участок площади $s_{i}$, лежащий в центральном вертикальном сечении).
Таким образом, минимальная сила, которую надо приложить к правой полусфере, чтобы жидкость не выливалась, равна
$F_{x} = \rho g \pi R^{3}$.
Сферу радиуса $R$, составленную из двух одинаковых плотно пригнанных тонкостенных полусфер массы $m$ каждая, наполняют жидкостью с плотностью $\rho$.
1) Какую вертикальную силу надо приложить к нижней полусфере, чтобы жидкость не выливалась, если верхняя сфера закреплена (рис.)?
2) С какой силой надо сжимать левую и правую полусферы (рис.). чтобы жидкость не выливалась?
Решение:
1) Рассмотрим условие равновесия нижней полусферы, заполненной жидкостью. На эту систему действуют сила тяжести
$F = mg + \rho g \cdot \frac{2}{3} \pi R^{3}$,
сила $F_{1}$ давления со стороны жидкости из верхней полусферы; вертикальная сила $F_{y}$, которую надо приложить к полусфере, чтобы жидкость не выливалась, определяется условием равновесия:
$F_{y} = F + F_{1}$.
Согласно закону Паскаля давление в жидкости в центре сферы равно
$p_{1} = \rho g R$,
и, следовательно,
$F_{1} = p_{1} \pi R^{2} = \rho g \pi R^{3}$,
Таким образом,
$F_{y} = mg + \frac{2}{3} \rho g \pi R^{3} + \rho g \pi R^{3} = g \left ( m + \frac{5}{8} \rho \pi R^{3} \right )$.
2) Запишем условие равновесия заполненной жидкостью правой полусферы (см. рис.) в проекциях на горизонтальную ось:
$F_{2} = F_{x}$,
где $F_{2}$ - сила давления на правую полусферу со стороны жидкости в левой полусфере, $F_{x}$ - сила, которую необходимо приложить к правой полусфере, чтобы жидкость не выливалась.
Найдем значение $F_{2}$. Давление жидкости внутри сферы линейно возрастает по мере увеличения глубины от 0 до $2 \rho gR$. Следовательно,
$F_{2} = \sum_{i} p_{i}s_{i} = p_{ср}S = \rho g R \pi R^{2} = \rho g \pi R^{3}$
(здесь $p_{i}$ - давление на участок площади $s_{i}$, лежащий в центральном вертикальном сечении).
Таким образом, минимальная сила, которую надо приложить к правой полусфере, чтобы жидкость не выливалась, равна
$F_{x} = \rho g \pi R^{3}$.
