Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12375
2019-12-31 
На дне большого закрытого сосуда, заполненного водой, лежит перевернутая чашка массы $m$. Чашка имеет форму цилиндра радиуса $R$ и высоты $R$ с полусферической полостью, радиус которой также равен $R$ (рис.). Полость заполнена ртутью. Воду из сосуда начинают медленно откачивать.
1) Определите, при какой высоте $h$ столба воды в сосуде чашка оторвется от его дна и ртуть начнет вытекать из-под ее краев.
2) Найдите высоту ртути в полости. когда из сосуда откачают всю воду.
Давлением паров воды пренебречь. Плотность воды $\rho$ и плотность ртути $\rho_{1}$ считать известными.
Примечание: объем шарового сегмента высоты $H$ и радиуса $R$ (рис.) равен $\pi H^{2} \left ( R - \frac{H}{3} \right )$.
Решение:
Запишем условие равновесия чашки. На нее действуют сила тяжести $m \vec{g}$, сила реакции дна сосуда $\vec{N}$, а также силы давления воды $\vec{F}_{в}$ и ртути $\vec{F}_{з}$ (рис.). Чашка находится в равновесии при условии
$F_{р} + N = mg + F_{в}$, (1)
Сила $F_{в}$ есть сила давления столба воды на верхнее основание чашки, то есть
$F_{в} = \begin{cases} \rho g (h - R) \pi R^{2} \: при \: h \geq R; \\0 \: при \: h < R. \end{cases}$ (2)
Из условия равновесия (1) с учетом (2) следует, что с понижением уровня воды в сосуде модуль силы реакции $N$ убывает. При некоторой высоте $h$ столба воды $N$ обратится в нуль. Условие $N = 0$ и определяет момент отрыва чашки. Сразу после отрыва давление ртути в верхней точке чашки также обратится в нуль. Для расчёта силы $F_{р}$ в момент отрыва чашки представим себе полусферическую поверхность в слое ртути толщины $R$. В силу гидростатического равновесия, силы, действующие на эту поверхность снизу и сверху, одинаковы, то есть $F_{р}$ равна весу "ртутной" чашки:
$F_{р} = \rho_{1} g \left ( \pi R^{3} - \frac{2}{3} \pi R^{3} \right ) = \frac{1}{3} \rho_{1} g \pi R^{3}$. (3)
Решая уравнение (1) с учетом (2), (3) и условия отрыва чашки $N = 0$, получим ответ на первый вопрос задачи:
$h = R \left ( 1 + \frac{ \rho_{1} }{3 \rho } \right ) - \frac{m}{ \rho \pi R^{2} }$.
Начиная с момента отрыва чашки во всем последующем процессе откачки воды квазиравновесие чашки обеспечивается уменьшением силы давления ртути $F_{р}$. Эта сила уменьшается за счет вытекания ртути из-под краев чашки. Ртуть перестанет вытекать, когда уровень воды достигнет верхнего основания чашки ($h = R$). Дальнейшая откачка воды не приведет к изменению количества ртути в чашке. Условие равновесия чашки при этом примет вид (давлением насыщенных паров воды и ртути пренебрегаем)
$mg = F_{р1}$, (4)
где $F_{p1}$ - сила, с которой давит на чашку оставшийся в ней слой ртути высоты $h_{1}$ (рис.). Эта сила численно равна весу ртути в объеме той части чашки, которая заштрихована на рисунке:
$F_{р1} = \rho_{1}g ( \pi R^{2}h_{1} - V_{1})$, (5)
где $V_{1}$ - объем оставшейся в чашке ртути, равный
$V_{1} = \frac{2}{3} \pi R^{3} - \pi (R - h_{1})^{2} \left ( R - \frac{R - h_{1} }{3} \right )$. (6)
Подставляя (5) с учетом (6) в условие равновесия (4) и решая получающееся уравнение относительно $h_{1}$, получим ответ на второй вопрос задачи:
$h_{1} = \sqrt[3]{ \frac{3m}{ \pi \rho_{1} } }$.
На дне большого закрытого сосуда, заполненного водой, лежит перевернутая чашка массы $m$. Чашка имеет форму цилиндра радиуса $R$ и высоты $R$ с полусферической полостью, радиус которой также равен $R$ (рис.). Полость заполнена ртутью. Воду из сосуда начинают медленно откачивать.
1) Определите, при какой высоте $h$ столба воды в сосуде чашка оторвется от его дна и ртуть начнет вытекать из-под ее краев.
2) Найдите высоту ртути в полости. когда из сосуда откачают всю воду.
Давлением паров воды пренебречь. Плотность воды $\rho$ и плотность ртути $\rho_{1}$ считать известными.
Примечание: объем шарового сегмента высоты $H$ и радиуса $R$ (рис.) равен $\pi H^{2} \left ( R - \frac{H}{3} \right )$.
Решение:
Запишем условие равновесия чашки. На нее действуют сила тяжести $m \vec{g}$, сила реакции дна сосуда $\vec{N}$, а также силы давления воды $\vec{F}_{в}$ и ртути $\vec{F}_{з}$ (рис.). Чашка находится в равновесии при условии
$F_{р} + N = mg + F_{в}$, (1)
Сила $F_{в}$ есть сила давления столба воды на верхнее основание чашки, то есть
$F_{в} = \begin{cases} \rho g (h - R) \pi R^{2} \: при \: h \geq R; \\0 \: при \: h < R. \end{cases}$ (2)
Из условия равновесия (1) с учетом (2) следует, что с понижением уровня воды в сосуде модуль силы реакции $N$ убывает. При некоторой высоте $h$ столба воды $N$ обратится в нуль. Условие $N = 0$ и определяет момент отрыва чашки. Сразу после отрыва давление ртути в верхней точке чашки также обратится в нуль. Для расчёта силы $F_{р}$ в момент отрыва чашки представим себе полусферическую поверхность в слое ртути толщины $R$. В силу гидростатического равновесия, силы, действующие на эту поверхность снизу и сверху, одинаковы, то есть $F_{р}$ равна весу "ртутной" чашки:
$F_{р} = \rho_{1} g \left ( \pi R^{3} - \frac{2}{3} \pi R^{3} \right ) = \frac{1}{3} \rho_{1} g \pi R^{3}$. (3)
Решая уравнение (1) с учетом (2), (3) и условия отрыва чашки $N = 0$, получим ответ на первый вопрос задачи:
$h = R \left ( 1 + \frac{ \rho_{1} }{3 \rho } \right ) - \frac{m}{ \rho \pi R^{2} }$.
Начиная с момента отрыва чашки во всем последующем процессе откачки воды квазиравновесие чашки обеспечивается уменьшением силы давления ртути $F_{р}$. Эта сила уменьшается за счет вытекания ртути из-под краев чашки. Ртуть перестанет вытекать, когда уровень воды достигнет верхнего основания чашки ($h = R$). Дальнейшая откачка воды не приведет к изменению количества ртути в чашке. Условие равновесия чашки при этом примет вид (давлением насыщенных паров воды и ртути пренебрегаем)
$mg = F_{р1}$, (4)
где $F_{p1}$ - сила, с которой давит на чашку оставшийся в ней слой ртути высоты $h_{1}$ (рис.). Эта сила численно равна весу ртути в объеме той части чашки, которая заштрихована на рисунке:
$F_{р1} = \rho_{1}g ( \pi R^{2}h_{1} - V_{1})$, (5)
где $V_{1}$ - объем оставшейся в чашке ртути, равный
$V_{1} = \frac{2}{3} \pi R^{3} - \pi (R - h_{1})^{2} \left ( R - \frac{R - h_{1} }{3} \right )$. (6)
Подставляя (5) с учетом (6) в условие равновесия (4) и решая получающееся уравнение относительно $h_{1}$, получим ответ на второй вопрос задачи:
$h_{1} = \sqrt[3]{ \frac{3m}{ \pi \rho_{1} } }$.
