Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12372
2019-12-31 
В одном из проектов для перелетов космических аппаратов в Солнечной системе предполагалось использовать солнечный парус площадью $S = 1 км^{2}$. Парус раскрывается, когда аппарат движется вокруг Солнца по земной орбите, радиус которой равен $R_{з} = 1,5 \cdot 10^{8} км$. При дальнейшем движении парус постоянно ориентирован перпендикулярно солнечных лучам, давление которых на земной орбите составляет $p = 10^{-5} Па$.
1) При какой массе космического аппарата он может улететь из Солнечной системы?
2) При какой максимальной массе аппарат может достичь орбиты Марса, радиус которой равен $R_{м} = 2,3 \cdot 10^{5} км$. Гравитационное влияние Земли и других планет не учитывать.
Произведение массы Солнца на гравитационную постоянную - $M_{С}G = 1,3 \cdot 10^{11} км^{3}/с^{2}$.
Решение:
При раскрытии солнечного паруса на аппарат действуют сила притяжения Солнца и сила давления солнечных лучей. Результирующая этих сил -
$F_{эф} = G \frac{M_{С}m }{R_{з}^{2} } - pS = G \frac{M_{С}m }{R_{з}^{2} } - \frac{GmR_{з}^{2}pS }{GmR_{з}^{2} } = G \frac{ \left ( M_{С} - \frac{pSR_{з}^{2} }{Gm} \right ) m }{R_{з}^{2} }$.
Мы видим, что давление солнечных лучей как бы уменьшает силу притяжения аппарата к Солнцу - эта сила оказывается такой, как если бы Солнце имело не массу $M_{С}$, а некую меньшую эффективную массу, равную
$M_{эф} = M_{С} - \frac{pSR_{з}^{2} }{Gm}$.
Пользуясь введенной эффективной массой, мы можем дальше решать задачу без учета давления солнечных лучей.
Полная энергия космического аппарата в гравитационном поле тела с массой $M_{эф}$ -
$E = \frac{mv^{2} }{2} - G \frac{mM_{эф} }{R}$.
Согласно закону сохранения энергии эта энергия в любой точке орбиты аппарата должна быть равна
$E = \frac{mv_{з}^{2} }{2} - G \frac{mM_{эф} }{R_{з} }$,
где $v_{з}$ - скорость, которую имел аппарат в момент раскрытия паруса на расстоянии $R_{з}$ от Солнца. Эту скорость найдем из уравнения движения аппарата по земной орбите под действием силы притяжения Солнца:
$\frac{mv_{з}^{2} }{R_{з} } = G \frac{mM_{С} }{R_{з}^{2} } \Rightarrow v_{з} = \sqrt{G \frac{M_{С} }{R_{з} } }$.
Таким образом,
$E = G \frac{m}{R_{з} } \left ( \frac{M_{С} }{2} - M_{эф} \right ) = G \frac{m}{R_{з} } \left ( \frac{pSR_{з}^{2} }{Gm} - \frac{M_{С} }{2} \right )$.
Аппарат может улететь из Солнечной системы, если $E \geq 0$, то есть при условии
$\frac{pSR_{з}^{2}}{Gm} - \frac{M_{С} }{2} \geq 0$.
Отсюда находим, при какой массе аппарата это возможно:
$м \leq \frac{2pSR_{з}^{2} }{GM_{С} } \approx 3,46 \cdot 10^{3} кг$.
При большей массе аппарат будет двигаться по замкнутым орбитам.
Пусть при некоторой массе $m_{1}$ орбита аппарата касается орбиты Марса. (Из всех возможных масс $m$, при которых аппарат достигает орбиты Марса (пересекает ее), $m_{1}$ - максимальна.) В этом случае орбита аппарата эллипс, большая ось которого равна $R_{з} + R_{м}$ (см. рисунок). В точках касания скорость аппарата перпендикулярна радиусу-вектору аппарата.
Согласно закону сохранения энергии
$\frac{m_{1}v_{з}^{2} }{2} - G \frac{m_{1}M_{эф} }{R_{з} } = \frac{m_{1}v_{м}^{2} }{2} - G \frac{m_{1}M_{эф} }{R_{м} } \Rightarrow v_{з}^{2} - v_{м}^{2} = 2GM_{эф} \left ( \frac{1}{R_{з} } - \frac{1}{R_{м} } \right )$. (*)
Согласно второму закону Кеплера
$v_{з}R_{з} = v_{м}R_{м} \Rightarrow v_{м} = v_{з} \frac{R_{з} }{R_{м} }$.
Подставляя это выражение для $v_{м}$ в (*) и учитывая, что $v_{ з} = \sqrt{ G \frac{M_{С} }{R_{з} } }$, после несложных преобразований получим:
$2m_{эф}R_{м} = M_{С} (R_{м} + R_{з})$.
или
$2 \left ( M_{С} - \frac{pSR_{з} }{Gm} \right ) R_{м} = M_{С} (R_{м} + R_{з})$.
Отсюда найдем максимальную массу $m_{1}$ аппарата, при которой аппарат может достичь орбиты Марса
$m_{1} = \frac{2pSR_{з}^{2}}{GM_{С} } \frac{R_{м} }{R_{м} - R_{з} } \approx 10^{4} кг$.
В одном из проектов для перелетов космических аппаратов в Солнечной системе предполагалось использовать солнечный парус площадью $S = 1 км^{2}$. Парус раскрывается, когда аппарат движется вокруг Солнца по земной орбите, радиус которой равен $R_{з} = 1,5 \cdot 10^{8} км$. При дальнейшем движении парус постоянно ориентирован перпендикулярно солнечных лучам, давление которых на земной орбите составляет $p = 10^{-5} Па$.
1) При какой массе космического аппарата он может улететь из Солнечной системы?
2) При какой максимальной массе аппарат может достичь орбиты Марса, радиус которой равен $R_{м} = 2,3 \cdot 10^{5} км$. Гравитационное влияние Земли и других планет не учитывать.
Произведение массы Солнца на гравитационную постоянную - $M_{С}G = 1,3 \cdot 10^{11} км^{3}/с^{2}$.
Решение:
При раскрытии солнечного паруса на аппарат действуют сила притяжения Солнца и сила давления солнечных лучей. Результирующая этих сил -
$F_{эф} = G \frac{M_{С}m }{R_{з}^{2} } - pS = G \frac{M_{С}m }{R_{з}^{2} } - \frac{GmR_{з}^{2}pS }{GmR_{з}^{2} } = G \frac{ \left ( M_{С} - \frac{pSR_{з}^{2} }{Gm} \right ) m }{R_{з}^{2} }$.
Мы видим, что давление солнечных лучей как бы уменьшает силу притяжения аппарата к Солнцу - эта сила оказывается такой, как если бы Солнце имело не массу $M_{С}$, а некую меньшую эффективную массу, равную
$M_{эф} = M_{С} - \frac{pSR_{з}^{2} }{Gm}$.
Пользуясь введенной эффективной массой, мы можем дальше решать задачу без учета давления солнечных лучей.
Полная энергия космического аппарата в гравитационном поле тела с массой $M_{эф}$ -
$E = \frac{mv^{2} }{2} - G \frac{mM_{эф} }{R}$.
Согласно закону сохранения энергии эта энергия в любой точке орбиты аппарата должна быть равна
$E = \frac{mv_{з}^{2} }{2} - G \frac{mM_{эф} }{R_{з} }$,
где $v_{з}$ - скорость, которую имел аппарат в момент раскрытия паруса на расстоянии $R_{з}$ от Солнца. Эту скорость найдем из уравнения движения аппарата по земной орбите под действием силы притяжения Солнца:
$\frac{mv_{з}^{2} }{R_{з} } = G \frac{mM_{С} }{R_{з}^{2} } \Rightarrow v_{з} = \sqrt{G \frac{M_{С} }{R_{з} } }$.
Таким образом,
$E = G \frac{m}{R_{з} } \left ( \frac{M_{С} }{2} - M_{эф} \right ) = G \frac{m}{R_{з} } \left ( \frac{pSR_{з}^{2} }{Gm} - \frac{M_{С} }{2} \right )$.
Аппарат может улететь из Солнечной системы, если $E \geq 0$, то есть при условии
$\frac{pSR_{з}^{2}}{Gm} - \frac{M_{С} }{2} \geq 0$.
Отсюда находим, при какой массе аппарата это возможно:
$м \leq \frac{2pSR_{з}^{2} }{GM_{С} } \approx 3,46 \cdot 10^{3} кг$.
При большей массе аппарат будет двигаться по замкнутым орбитам.
Пусть при некоторой массе $m_{1}$ орбита аппарата касается орбиты Марса. (Из всех возможных масс $m$, при которых аппарат достигает орбиты Марса (пересекает ее), $m_{1}$ - максимальна.) В этом случае орбита аппарата эллипс, большая ось которого равна $R_{з} + R_{м}$ (см. рисунок). В точках касания скорость аппарата перпендикулярна радиусу-вектору аппарата.
Согласно закону сохранения энергии
$\frac{m_{1}v_{з}^{2} }{2} - G \frac{m_{1}M_{эф} }{R_{з} } = \frac{m_{1}v_{м}^{2} }{2} - G \frac{m_{1}M_{эф} }{R_{м} } \Rightarrow v_{з}^{2} - v_{м}^{2} = 2GM_{эф} \left ( \frac{1}{R_{з} } - \frac{1}{R_{м} } \right )$. (*)
Согласно второму закону Кеплера
$v_{з}R_{з} = v_{м}R_{м} \Rightarrow v_{м} = v_{з} \frac{R_{з} }{R_{м} }$.
Подставляя это выражение для $v_{м}$ в (*) и учитывая, что $v_{ з} = \sqrt{ G \frac{M_{С} }{R_{з} } }$, после несложных преобразований получим:
$2m_{эф}R_{м} = M_{С} (R_{м} + R_{з})$.
или
$2 \left ( M_{С} - \frac{pSR_{з} }{Gm} \right ) R_{м} = M_{С} (R_{м} + R_{з})$.
Отсюда найдем максимальную массу $m_{1}$ аппарата, при которой аппарат может достичь орбиты Марса
$m_{1} = \frac{2pSR_{з}^{2}}{GM_{С} } \frac{R_{м} }{R_{м} - R_{з} } \approx 10^{4} кг$.
