Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12371
2019-12-31 
Для измерения распределения скорости ветра на высоте используются шары-зонды, которые имеют постоянную вертикальную скорость подъема. При запуске такого шара были получена зависимость угла $\alpha$ возвышения шара над горизонтом от времени $t$ (рис.). Полагая скорость ветра у поверхности Земли равной нулю, а расстояние от места запуски шара до наблюдателя равным $L = 1 км$ (рис.), определить высоту подъема шара через 7 минут после запуска и скорость ветра на этой высоте.
Решение:
В начальный момент времени вектор $\vec{v}$ скорости шара направлен вертикально. Поскольку скорость ветра вблизи поверхности Земли равна нулю скорость шара при малых высотах подъема (и при малых $\alpha (t)$) постоянна и равна $\vec{v}$. Следовательно, при малых $\alpha$ зависимость $\alpha ( t)$ определяется соотношением
$tg \alpha (t) \approx \alpha (t) \approx \frac{vt}{L}$. (1)
Пусть за малый промежуток времени $\Delta t$ угол возвышения изменился на $\Delta \alpha$. Из (1) следует, что $\frac{ \Delta \alpha}{ \Delta t} = \frac{v}{L}$, откуда
$v = L \frac{ \Delta \alpha}{ \Delta t}$. (2)
Отношение $\frac{ \Delta \alpha}{ \Delta t}$ может быть найдено по графику зависимости $\alpha (t)$. Оно определяется наклоном касательной к кривой $\alpha (t)$ в точке $\alpha = 0$ (см. рис.). Выразив $\alpha$ в радианах, найдем из графика значение $\frac{ \Delta \alpha}{ \Delta t}$ и, подставив его в (2), найдем скорость шара зонда при малых $\alpha$:
$v = 10^{3} \frac{50 \cdot 2 \pi}{360 \cdot 3 \cdot 60} м/с \approx 4,85 м/с$.
(Точность определения $v$ зависит от точности построения касательной. Для данного на рисунке масштаба значения $v$ лежат в пределах 4,8-5,0 м/с.)
За время $t_{1} = 7 мин = 420 с$ шар поднимается на высоту
$h = vt_{1} \approx 2000 м$.
как видно из рисунка, в этот момент $\alpha (t)$ достигает максимального значения. Это означает, что на высоте $h$ вектор скорости шара направлен вдоль луча зрения, проведенного из точки наблюдения Следовательно, угол наклона вектора $\vec{v}_{h}$ к горизонту равен $\alpha (t_{1} ) = 60^{ \circ}$. Вертикальная проекция $\vec{v}_{h}$ равна $v = 4,85 м/с$, а горизонтальная - это скорость $u_{h}$ ветра на высоте $h$. Значит,
$u_{h} = v ctg 60^{ \circ} \approx \frac{4,85}{ \sqrt{3} } м/с \approx 2,8 м/с$.
Для измерения распределения скорости ветра на высоте используются шары-зонды, которые имеют постоянную вертикальную скорость подъема. При запуске такого шара были получена зависимость угла $\alpha$ возвышения шара над горизонтом от времени $t$ (рис.). Полагая скорость ветра у поверхности Земли равной нулю, а расстояние от места запуски шара до наблюдателя равным $L = 1 км$ (рис.), определить высоту подъема шара через 7 минут после запуска и скорость ветра на этой высоте.
Решение:
В начальный момент времени вектор $\vec{v}$ скорости шара направлен вертикально. Поскольку скорость ветра вблизи поверхности Земли равна нулю скорость шара при малых высотах подъема (и при малых $\alpha (t)$) постоянна и равна $\vec{v}$. Следовательно, при малых $\alpha$ зависимость $\alpha ( t)$ определяется соотношением
$tg \alpha (t) \approx \alpha (t) \approx \frac{vt}{L}$. (1)
Пусть за малый промежуток времени $\Delta t$ угол возвышения изменился на $\Delta \alpha$. Из (1) следует, что $\frac{ \Delta \alpha}{ \Delta t} = \frac{v}{L}$, откуда
$v = L \frac{ \Delta \alpha}{ \Delta t}$. (2)
Отношение $\frac{ \Delta \alpha}{ \Delta t}$ может быть найдено по графику зависимости $\alpha (t)$. Оно определяется наклоном касательной к кривой $\alpha (t)$ в точке $\alpha = 0$ (см. рис.). Выразив $\alpha$ в радианах, найдем из графика значение $\frac{ \Delta \alpha}{ \Delta t}$ и, подставив его в (2), найдем скорость шара зонда при малых $\alpha$:
$v = 10^{3} \frac{50 \cdot 2 \pi}{360 \cdot 3 \cdot 60} м/с \approx 4,85 м/с$.
(Точность определения $v$ зависит от точности построения касательной. Для данного на рисунке масштаба значения $v$ лежат в пределах 4,8-5,0 м/с.)
За время $t_{1} = 7 мин = 420 с$ шар поднимается на высоту
$h = vt_{1} \approx 2000 м$.
как видно из рисунка, в этот момент $\alpha (t)$ достигает максимального значения. Это означает, что на высоте $h$ вектор скорости шара направлен вдоль луча зрения, проведенного из точки наблюдения Следовательно, угол наклона вектора $\vec{v}_{h}$ к горизонту равен $\alpha (t_{1} ) = 60^{ \circ}$. Вертикальная проекция $\vec{v}_{h}$ равна $v = 4,85 м/с$, а горизонтальная - это скорость $u_{h}$ ветра на высоте $h$. Значит,
$u_{h} = v ctg 60^{ \circ} \approx \frac{4,85}{ \sqrt{3} } м/с \approx 2,8 м/с$.
