Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12370
2019-12-31 
На стеклянный шарик радиуса $R$ падает луч света, направленный вдоль радиуса. На расстоянии $r$ от центра шарика свет рассеивается равномерно по всем направлениям на маленьком воздушном пузырьке, образовавшемся при изготовлении шарика. Определить зависимость доли выходящего из шарика света от $r$. Показатель преломления стекла $n$. Потерями света в стекле пренебречь.
Решение:
В результате рассеяния на пузырьке луч отклоняется на угол $\beta$ от своего начального направления и падает на границу раздела стекло - воздух под углом $\alpha$ (рис.). Если при этом оказывается, что $\sin \alpha > \frac{1}{n}$, то на границе происходит полное внутреннее отражение. Второй раз луч упадет на границу стекло - воздух снова под углом $\alpha$, снова произойдет полное внутреннее отражение, и т.д. Таким образом, лучи, испытавшие после рассеяния полное внутреннее отражение на границе стекло - воздух не выйдут из шарика. Найдем, при каких значениях угла отклонения $\beta$ это происходит.
Согласно теореме синусов (см. рис.).
$\frac{r}{ \sin \alpha } = \frac{R}{ \sin \beta}$.
Подставляя $\sin \alpha$, находим:
$\beta_{1} = arcsin \left ( \frac{R}{rn} \right )$, (1)
$\beta_{2} = \pi - arcsin \left ( \frac{R}{rn} \right )$. (2)
Полное внутреннее отражение испытывают все лучи, отклоняющиеся при рассеянии на углы $\beta$, удовлетворяйте условию
$\beta_{1} < \beta < \beta_{2}$.
Все остальные лучи после рассеяния выходят из шарика.
Так как лучи рассеиваются на пузырьке равномерно по всем направлениям, доля $\eta$ света, выходящего из шарика, равна отношению площадей двух сферических сегментов (на рисунке они заштрихованы к полной площади сферы произвольного радиуса, центр которой совпадает с центром пузырька:
$\eta = \frac{2 \cdot 2 \pi \rho h}{4 \pi \rho^{2} } = \frac{h}{ \rho}$.
Как видно из рисунка,
$h = \rho (1 - \cos \beta ) = \rho (1 - \sqrt{1 - \sin^{2} \beta }) = \rho (1 - \sqrt{1 - \left ( \frac{R}{rn} \right )^{2} } )$.
Таким образом,
$\eta = 1 - \sqrt{1 - \frac{1}{r^{2} } \left ( \frac{R}{n} \right )^{2} }$.
При $r < \frac{R}{n}$ выражения (1) - (3) теряют смысл - в этом случае ни один из лучей, рассеянных пузырьком, не испытывает полного внутреннего отражения и весь свет выходит из шарика.
На стеклянный шарик радиуса $R$ падает луч света, направленный вдоль радиуса. На расстоянии $r$ от центра шарика свет рассеивается равномерно по всем направлениям на маленьком воздушном пузырьке, образовавшемся при изготовлении шарика. Определить зависимость доли выходящего из шарика света от $r$. Показатель преломления стекла $n$. Потерями света в стекле пренебречь.
Решение:
В результате рассеяния на пузырьке луч отклоняется на угол $\beta$ от своего начального направления и падает на границу раздела стекло - воздух под углом $\alpha$ (рис.). Если при этом оказывается, что $\sin \alpha > \frac{1}{n}$, то на границе происходит полное внутреннее отражение. Второй раз луч упадет на границу стекло - воздух снова под углом $\alpha$, снова произойдет полное внутреннее отражение, и т.д. Таким образом, лучи, испытавшие после рассеяния полное внутреннее отражение на границе стекло - воздух не выйдут из шарика. Найдем, при каких значениях угла отклонения $\beta$ это происходит.
Согласно теореме синусов (см. рис.).
$\frac{r}{ \sin \alpha } = \frac{R}{ \sin \beta}$.
Подставляя $\sin \alpha$, находим:
$\beta_{1} = arcsin \left ( \frac{R}{rn} \right )$, (1)
$\beta_{2} = \pi - arcsin \left ( \frac{R}{rn} \right )$. (2)
Полное внутреннее отражение испытывают все лучи, отклоняющиеся при рассеянии на углы $\beta$, удовлетворяйте условию
$\beta_{1} < \beta < \beta_{2}$.
Все остальные лучи после рассеяния выходят из шарика.
Так как лучи рассеиваются на пузырьке равномерно по всем направлениям, доля $\eta$ света, выходящего из шарика, равна отношению площадей двух сферических сегментов (на рисунке они заштрихованы к полной площади сферы произвольного радиуса, центр которой совпадает с центром пузырька:
$\eta = \frac{2 \cdot 2 \pi \rho h}{4 \pi \rho^{2} } = \frac{h}{ \rho}$.
Как видно из рисунка,
$h = \rho (1 - \cos \beta ) = \rho (1 - \sqrt{1 - \sin^{2} \beta }) = \rho (1 - \sqrt{1 - \left ( \frac{R}{rn} \right )^{2} } )$.
Таким образом,
$\eta = 1 - \sqrt{1 - \frac{1}{r^{2} } \left ( \frac{R}{n} \right )^{2} }$.
При $r < \frac{R}{n}$ выражения (1) - (3) теряют смысл - в этом случае ни один из лучей, рассеянных пузырьком, не испытывает полного внутреннего отражения и весь свет выходит из шарика.
