2019-12-31
Кристаллы железа при температуре до $910^{ \circ} С$ состоят из элементарных ячеек, имеющих форму куба с длиной ребра $a_{1} = 2,87 \cdot 10^{-10} м$. Атомы железа располагаются в вершинах куба и в его центре (рис.). Такая разновидность элемента - с объемноцентрированной кубической решеткой - называется альфа-железом ( $Fe_{ \alpha}$). При температуре выше $910^{ \circ} С$ ячейки кристалла железа представляют собой гранецентрированный куб с длиной ребра $a_{2} = 3,63 \cdot 10^{-10} м$. Атомы располагаются, в вершинах куба и в центрах его граней (рис.). Такая разновидность элемента называется гамма-железом ($Fe_{ \gamma}$). Одинакова ли плотность железа в этих состояниях? Относительная атомная масса железа $\mu = 55,817$.
Решение:
Определим сначала, сколько атомов элемента приходится на каждую ячейку-куб. Если мысленно вырезать один элементарный кубик, то в каждой его вершине будет по 1/8 атома (каждая вершина общая для 8 кубиков) Таких вершин 8. Следовательно, на ячейку-куб $Fe_{ \alpha}$ приходится $\frac{1}{8} \cdot 8 + 1 = 2$ атома (с учетом центрального атома).
На элементарную ячейку $Fe_{ \gamma}$ приходится $\frac{1}{8} 8 + \frac{1}{2} \cdot 6 = 4$ атома, так как на каждую грань приходится по $\frac{1}{2}$ атома, а граней - 6.
На ячейку альфа-железа приходится объем
$V_{ \alpha} = (2,87 \cdot 10^{-10} )^{3} м^{3} \approx 23,64 \cdot 10^{-30} м^{3}$,
на ячейку гамма-железа -
$V_{ \gamma} = (3,63 \cdot 10^{-10} )^{3} м^{3} \approx 47,83 \cdot 10^{- 30} м^{3}$.
Масса одного атома железа -
$m = \frac{55,847 \cdot 10^{-3}}{6,02 \cdot 10^{23}} кг \approx 9,28 \cdot 10^{-36} кг$
($6,02 \cdot 10^{23} моль^{-1}$ - постоянная Аиогадро). Таким образом, плотности $Fe_{ \alpha}$ и $Fe_{ \gamma}$ равны, соответственно,
$\rho_{ \alpha} = \frac{2m}{V_{ \alpha} } \approx \frac{2 \cdot 9,28 \cdot 10^{-26} }{23,64 \cdot 10^{-30} } кг/м^{3} \approx 7850 кг/м^{3}$,
$\rho_{ \gamma} = \frac{4m}{V_{ \gamma} } \approx \frac{4 \cdot 9,28 \cdot 10^{-26} }{47,83 \cdot 10^{-30} } кг/м^{3} \approx 7760 кг/м^{3}$.
и $\rho_{ \alpha} > \rho_{ \gamma}$.