Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12368
2019-12-31 
Солнце находится на угловой высоте $\phi$ над горизонтом. Под каким углом $\alpha$ к поверхности Земли нужно бросить тело в вертикальной плоскости, проходящей через Солнце, чтобы тень тела прошла наибольший путь по Земле?
Решение:
Рассмотрим отдельно случаи, соответствующие различным соотношениям между $\alpha$ и $\phi$.
1) Если бросать тело под углом $\alpha \leq \phi$, то путь, проходимый тенью за время полета тела, будет равен дальности полета, то есть $S_{1} = \frac{1}{g} v_{0}^{2} \sin 2 \alpha$ (см. рис.). При $\phi < 45^{ \circ}$ ($\alpha < 45^{ \circ}$) значение $S_{1}$ тем больше, чем больше $\alpha$; следовательно, надо бросать тело под углом $\alpha = \phi$, и тогда
$S_{1max} = \frac{1}{g} v_{0}^{2} v_{0}^{2} \sin 2 \phi$. (1)
Если же $\phi \geq 45^{ \circ}$, то $\alpha$ должно быть равным $45^{ \circ}$, так как $S_{1}$ максимально при $\alpha = 45^{ \circ}$ (в этом случае $S_{1min} = \frac{1}{g} v_{0}^{2}$).
2) Если бросать тело под углом $\alpha > \phi$, то тень пройдет путь, равный (см. рис.)
$S_{2} = 2|OA| + S_{x} = 2|OA| + \frac{1}{g} v_{0}^{2} \sin 2 \alpha$. (2)
Найдем $| OA |$. Для этого нам надо получить уравнение касательной к параболе в точке $M$ и определить абсциссу $x_{A}$ точки пересечения касательной с осью $X$ ($|x_{A} | = |OA|$).
Чтобы получить уравнение касательной $AM$, определим координаты $x_{M}$ и $y_{M}$, точки $M$. Угловой коэффициент касательной равен $tg \phi$ и равен производной функции $y(x)$, описывающей параболу, в точке $M$. Нетрудно показать, что
$y(x) = (tg \alpha) x - \frac{g}{2v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha } x^{2}$,
и следовательно,
$tg \phi = \left ( (tg \alpha )x_{M} - \frac{g}{2v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha } x_{M}^{2} \right )^{ \prime} = tg \alpha - \frac{g}{v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha } x_{M}$,
откуда
$x_{M} = \frac{1}{g} (tg \alpha - tg \phi) v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha$,
$y_{M} = \frac{1}{g} (tg \alpha - tg \phi )^{2} v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha = \frac{1}{2g} (tg^{2} \alpha - tg^{2} \phi ) v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha$.
Теперь мы можем записать уравнение касательной $AM$ (см. рис.) -
$y_{AM}(x) = x tg \phi + \frac{1}{2g} (tg^{2} \alpha - tg^{2} \phi ) v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha - \frac{1}{g} tg \phi (tg \alpha - tg \phi ) v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha = x tg \alpha + \frac{1}{g} (tg \alpha - tg \phi )^{2} v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha$
и найти абсциссу $x_{A}$ точки $A$ (и $|OA| = | x_{A}|$):
$y_{AM} = 0 \Rightarrow x_{A} = - \frac{1}{2g tg \phi} (tg \alpha - tg \phi )^{2} v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha$.
Таким образом, если тело брошено под углом $\alpha > \phi$, то тень проходит путь (см. (2))
$S_{2} = \frac{1}{g} v_{0}^{2} \sin 2 \alpha + \frac{1}{g tg \phi} ( tg \alpha - tg \phi )^{2} v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha$.
Посмотрим, при каких значениях $\alpha$ это выражение максимально. Для этого найдем производную $S^{ \prime}( \alpha)$ и приравняем ее нулю:
$S^{ \prime} ( \alpha) = \frac{2}{g} v_{0}^{2} \cos 2 \alpha + \frac{1}{g tg \phi } v_{0}^{2} ( \sin 2 \alpha + 2 tg \phi \cos 2 \alpha - tg^{2} \phi \sin 2 \alpha ) = 0$,
или
$(1 - tg^{2} \phi ) \sin 2 \alpha = 0 \Rightarrow \sin 2 \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 90^{ \circ}$
(случай $\alpha = 0$ нам не подходит, так как $\alpha > \phi$).
Следовательно, $S_{2}$ максимально при $\alpha = 90^{ \circ}$, то есть когда тело бросают вертикально вверх, и (см. рис.)
$S_{2max} = 2h_{max} ctg \phi = \frac{1}{g} v_{0}^{2} ctg \phi$.
Теперь выясним, при каких условиях $S_{2max} > S_{1max}$ и при каких $S_{2max} < S_{1max}$. Для этого найдем отношение $S_{1max} : S_{2max}$ (см. (1)):
$\frac{S_{1max} }{S_{2max} } = \frac{v_{0}^{2} g \sin 2 \phi }{v_{0}^{2}g ctg \phi } = 2 \sin^{2} \phi$.
При $\phi = 45^{ \circ}$ это выражение равно 1 ($S_{1max} = S_{2max}$) - тень проходит одинаковые пути при $\alpha =45^{ \circ}$ и при $\alpha = 90^{ \circ}$. Если $\phi < 45^{ \circ}$, то $2 \sin^{2} \phi < 1$ ($S_{1max} < S_{2max}$) - тень проходит максимальный путь при $\alpha = 90^{ \circ}$. При $\phi > 45^{ \circ}$, как мы уже говорили, $S_{1max} = \frac{1}{g} v_{0}^{2}$, и $S_{1max} : S_{2max} = tg \phi > 1$ - тень проходит максимальный путь при $\alpha =45^{ \circ}$.
Выпишем окончательный ответ:
если $\phi < 45^{ \circ}$ - тело надо бросать вертикально;
если $\phi = 45^{ \circ}$ - тело надо бросать либо вертикально, либо под углом $45^{ \circ}$ к горизонту;
если $\phi > 45^{ \circ}$ - тело надо бросать под углом $45^{ \circ}$ к горизонту.
Солнце находится на угловой высоте $\phi$ над горизонтом. Под каким углом $\alpha$ к поверхности Земли нужно бросить тело в вертикальной плоскости, проходящей через Солнце, чтобы тень тела прошла наибольший путь по Земле?
Решение:
Рассмотрим отдельно случаи, соответствующие различным соотношениям между $\alpha$ и $\phi$.
1) Если бросать тело под углом $\alpha \leq \phi$, то путь, проходимый тенью за время полета тела, будет равен дальности полета, то есть $S_{1} = \frac{1}{g} v_{0}^{2} \sin 2 \alpha$ (см. рис.). При $\phi < 45^{ \circ}$ ($\alpha < 45^{ \circ}$) значение $S_{1}$ тем больше, чем больше $\alpha$; следовательно, надо бросать тело под углом $\alpha = \phi$, и тогда
$S_{1max} = \frac{1}{g} v_{0}^{2} v_{0}^{2} \sin 2 \phi$. (1)
Если же $\phi \geq 45^{ \circ}$, то $\alpha$ должно быть равным $45^{ \circ}$, так как $S_{1}$ максимально при $\alpha = 45^{ \circ}$ (в этом случае $S_{1min} = \frac{1}{g} v_{0}^{2}$).
2) Если бросать тело под углом $\alpha > \phi$, то тень пройдет путь, равный (см. рис.)
$S_{2} = 2|OA| + S_{x} = 2|OA| + \frac{1}{g} v_{0}^{2} \sin 2 \alpha$. (2)
Найдем $| OA |$. Для этого нам надо получить уравнение касательной к параболе в точке $M$ и определить абсциссу $x_{A}$ точки пересечения касательной с осью $X$ ($|x_{A} | = |OA|$).
Чтобы получить уравнение касательной $AM$, определим координаты $x_{M}$ и $y_{M}$, точки $M$. Угловой коэффициент касательной равен $tg \phi$ и равен производной функции $y(x)$, описывающей параболу, в точке $M$. Нетрудно показать, что
$y(x) = (tg \alpha) x - \frac{g}{2v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha } x^{2}$,
и следовательно,
$tg \phi = \left ( (tg \alpha )x_{M} - \frac{g}{2v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha } x_{M}^{2} \right )^{ \prime} = tg \alpha - \frac{g}{v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha } x_{M}$,
откуда
$x_{M} = \frac{1}{g} (tg \alpha - tg \phi) v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha$,
$y_{M} = \frac{1}{g} (tg \alpha - tg \phi )^{2} v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha = \frac{1}{2g} (tg^{2} \alpha - tg^{2} \phi ) v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha$.
Теперь мы можем записать уравнение касательной $AM$ (см. рис.) -
$y_{AM}(x) = x tg \phi + \frac{1}{2g} (tg^{2} \alpha - tg^{2} \phi ) v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha - \frac{1}{g} tg \phi (tg \alpha - tg \phi ) v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha = x tg \alpha + \frac{1}{g} (tg \alpha - tg \phi )^{2} v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha$
и найти абсциссу $x_{A}$ точки $A$ (и $|OA| = | x_{A}|$):
$y_{AM} = 0 \Rightarrow x_{A} = - \frac{1}{2g tg \phi} (tg \alpha - tg \phi )^{2} v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha$.
Таким образом, если тело брошено под углом $\alpha > \phi$, то тень проходит путь (см. (2))
$S_{2} = \frac{1}{g} v_{0}^{2} \sin 2 \alpha + \frac{1}{g tg \phi} ( tg \alpha - tg \phi )^{2} v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha$.
Посмотрим, при каких значениях $\alpha$ это выражение максимально. Для этого найдем производную $S^{ \prime}( \alpha)$ и приравняем ее нулю:
$S^{ \prime} ( \alpha) = \frac{2}{g} v_{0}^{2} \cos 2 \alpha + \frac{1}{g tg \phi } v_{0}^{2} ( \sin 2 \alpha + 2 tg \phi \cos 2 \alpha - tg^{2} \phi \sin 2 \alpha ) = 0$,
или
$(1 - tg^{2} \phi ) \sin 2 \alpha = 0 \Rightarrow \sin 2 \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 90^{ \circ}$
(случай $\alpha = 0$ нам не подходит, так как $\alpha > \phi$).
Следовательно, $S_{2}$ максимально при $\alpha = 90^{ \circ}$, то есть когда тело бросают вертикально вверх, и (см. рис.)
$S_{2max} = 2h_{max} ctg \phi = \frac{1}{g} v_{0}^{2} ctg \phi$.
Теперь выясним, при каких условиях $S_{2max} > S_{1max}$ и при каких $S_{2max} < S_{1max}$. Для этого найдем отношение $S_{1max} : S_{2max}$ (см. (1)):
$\frac{S_{1max} }{S_{2max} } = \frac{v_{0}^{2} g \sin 2 \phi }{v_{0}^{2}g ctg \phi } = 2 \sin^{2} \phi$.
При $\phi = 45^{ \circ}$ это выражение равно 1 ($S_{1max} = S_{2max}$) - тень проходит одинаковые пути при $\alpha =45^{ \circ}$ и при $\alpha = 90^{ \circ}$. Если $\phi < 45^{ \circ}$, то $2 \sin^{2} \phi < 1$ ($S_{1max} < S_{2max}$) - тень проходит максимальный путь при $\alpha = 90^{ \circ}$. При $\phi > 45^{ \circ}$, как мы уже говорили, $S_{1max} = \frac{1}{g} v_{0}^{2}$, и $S_{1max} : S_{2max} = tg \phi > 1$ - тень проходит максимальный путь при $\alpha =45^{ \circ}$.
Выпишем окончательный ответ:
если $\phi < 45^{ \circ}$ - тело надо бросать вертикально;
если $\phi = 45^{ \circ}$ - тело надо бросать либо вертикально, либо под углом $45^{ \circ}$ к горизонту;
если $\phi > 45^{ \circ}$ - тело надо бросать под углом $45^{ \circ}$ к горизонту.
