Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12367
2019-12-31 
На рисунке изображена принципиальная схема гравиметра - прибора для измерения вариаций ускорения свободного падения $g$. В теплоизолированных газовых баллонах 1 и 2 давления соответственно $p_{1} \approx 2 \cdot 10^{4} Па$ и $p_{2} \approx 3 \cdot 10^{4} Па$. Цилиндрические сосуды А и В радиуса 10 см и соединяющая их трубка заполнены ртутью. Поверх ртути налита очень легкая жидкость (толуол); эта жидкость заполняет также частично капилляры радиуса 1 мм, соединяющие сосуды А и В с баллонами 1 и 2. Опишите процесс измерения вариаций ускорения $g$ с помощью этого прибора. Какова величина вариаций $g$, которые можно зарегистрировать этим гравиметром, если известно, что при измерениях в разных пунктах изменения разности горизонтальных смещений толуола в капиллярах могут достигать нескольких миллиметров (до 1 см)? Температура во время равных измерений поддерживается постоянной; плотность ртути $\rho = 13,5 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$.
Решение:
Предположим, что в некотором пункте на поверхности Земли разность уровней ртути в сосудах А и В оказалась равной $h_{0}$. Если разность давлений $p_{2}$ и $p_{1}$ в сосудах фиксирована, то из условия $p_{2} - p_{1} = \rho gh_{0}$ определяется значение ускорения свободного падения $g_{0}$ в данном пункте:
$g_{0} = \frac{p_{2} - p_{1} }{ \rho h_{0} }$.
В другом пункте ускорение будет отличаться от $g_{0}$; пусть оно равно $g = g_{0} + \Delta g$. Разность уровней ртути в сосудах А и В будет теперь $h = h_{0} + \Delta h$. При сохраняющейся разности давлений в сосудах и при малых вариациях $\Delta g$ и, соответственно, малых приращениях $\Delta h$
$\frac{ \Delta h}{h_{0} } \approx \frac{ \Delta g}{g_{0} }$.
Таким образом, порядок величины вариаций $\Delta g$ определяется порядком измеряемого значения $\Delta h$. Измерить непосредственно малые приращения $\Delta h$ трудно. Чтобы определить значение $\Delta h$, поверх ртути наливают легкую жидкость: если разность горизонтальных смещений уровней толуола в капиллярах равна $\Delta l$ (эта величина измеряется), то, очевидно,
$\Delta h \cdot S = \Delta l \cdot s$,
где $S$ и $s$ - площади сечений сосудов и капилляров, соответственно. Следовательно,
$\frac{ \Delta g}{g_{0} } \approx \frac{ \Delta h}{h_{0} } = \frac{s}{S} \frac{ \Delta l}{h_{0} } = \frac{s}{S} \left ( \frac{ \rho g_{0} \Delta l }{p_{2} - p_{1} } \right )$.
По условию $s/S \sim 10^{-4}, \rho \sim 10^{-4} кг/м^{3}, (p_{2} - p_{1}) \sim 10^{4} Па, \Delta l \sim 10^{-2} м$. Поскольку $g_{0} \sim 10 м/с^{2}$, относительные вариации $g_{0}$, измеряемые прибором,
$\frac{ \Delta g}{g_{0} } \sim \frac{ 10^{- 4} \cdot 10^{4} \cdot 10^{-2}}{10^{4}} = 10^{-5}$.
На рисунке изображена принципиальная схема гравиметра - прибора для измерения вариаций ускорения свободного падения $g$. В теплоизолированных газовых баллонах 1 и 2 давления соответственно $p_{1} \approx 2 \cdot 10^{4} Па$ и $p_{2} \approx 3 \cdot 10^{4} Па$. Цилиндрические сосуды А и В радиуса 10 см и соединяющая их трубка заполнены ртутью. Поверх ртути налита очень легкая жидкость (толуол); эта жидкость заполняет также частично капилляры радиуса 1 мм, соединяющие сосуды А и В с баллонами 1 и 2. Опишите процесс измерения вариаций ускорения $g$ с помощью этого прибора. Какова величина вариаций $g$, которые можно зарегистрировать этим гравиметром, если известно, что при измерениях в разных пунктах изменения разности горизонтальных смещений толуола в капиллярах могут достигать нескольких миллиметров (до 1 см)? Температура во время равных измерений поддерживается постоянной; плотность ртути $\rho = 13,5 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$.
Решение:
Предположим, что в некотором пункте на поверхности Земли разность уровней ртути в сосудах А и В оказалась равной $h_{0}$. Если разность давлений $p_{2}$ и $p_{1}$ в сосудах фиксирована, то из условия $p_{2} - p_{1} = \rho gh_{0}$ определяется значение ускорения свободного падения $g_{0}$ в данном пункте:
$g_{0} = \frac{p_{2} - p_{1} }{ \rho h_{0} }$.
В другом пункте ускорение будет отличаться от $g_{0}$; пусть оно равно $g = g_{0} + \Delta g$. Разность уровней ртути в сосудах А и В будет теперь $h = h_{0} + \Delta h$. При сохраняющейся разности давлений в сосудах и при малых вариациях $\Delta g$ и, соответственно, малых приращениях $\Delta h$
$\frac{ \Delta h}{h_{0} } \approx \frac{ \Delta g}{g_{0} }$.
Таким образом, порядок величины вариаций $\Delta g$ определяется порядком измеряемого значения $\Delta h$. Измерить непосредственно малые приращения $\Delta h$ трудно. Чтобы определить значение $\Delta h$, поверх ртути наливают легкую жидкость: если разность горизонтальных смещений уровней толуола в капиллярах равна $\Delta l$ (эта величина измеряется), то, очевидно,
$\Delta h \cdot S = \Delta l \cdot s$,
где $S$ и $s$ - площади сечений сосудов и капилляров, соответственно. Следовательно,
$\frac{ \Delta g}{g_{0} } \approx \frac{ \Delta h}{h_{0} } = \frac{s}{S} \frac{ \Delta l}{h_{0} } = \frac{s}{S} \left ( \frac{ \rho g_{0} \Delta l }{p_{2} - p_{1} } \right )$.
По условию $s/S \sim 10^{-4}, \rho \sim 10^{-4} кг/м^{3}, (p_{2} - p_{1}) \sim 10^{4} Па, \Delta l \sim 10^{-2} м$. Поскольку $g_{0} \sim 10 м/с^{2}$, относительные вариации $g_{0}$, измеряемые прибором,
$\frac{ \Delta g}{g_{0} } \sim \frac{ 10^{- 4} \cdot 10^{4} \cdot 10^{-2}}{10^{4}} = 10^{-5}$.
