Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12366
2019-12-31 
На прозрачное стеклянное тело, представляющее собой два соединенных основаниями конуса, падает пучок параллельных световых лучей, имеющий круглое сечение диаметра $d$ (рис.). Размеры тела указаны на рисунке; показатель преломления стекла $n$. Какая картина будет наблюдаться на экране, установленном на расстоянии $l$ от тела?
Решение:
Изображение на экране будет различным в зависимости от соотношения между $a, d$ и $l$.
1) Рассмотрим случай, когда луч $l(l^{ \prime})$ после преломления на грани $AB(AD)$ попадает в точку $C$ (см. рис. а) В этом случае после двукратного преломления лучей (на гранях $AB$ и $DC, AD$ и $BC$) пучок остается параллельным $AC$ и на экране получится равномерно освещенный круг (рис. б) диаметра $d$. Получающаяся картина от $l$ не зависит.
Значения $d_{1}$, при которых осуществляется такой вариант, определим из рисунка а:
$\frac{d_{1} }{2} = |KA| \sin \alpha = (a - |BK| ) \sin \alpha = (1 - tg \alpha ) \sin \alpha$.
Подставляя
$\sin \alpha = \frac{1}{ \sqrt{2} }, \sin \beta = \frac{ \sin \alpha}{n}. tg \beta = \frac{ \sin \beta}{ \cos \beta} = \frac{1}{ \sqrt{2n^{2} - 1 } }$,
получаем
$d_{1} = a \sqrt{2} \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2n^{2} - 1 } } \right )$.
2) Пусть $0 < d_{2} < a \sqrt{2} \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2n^{2} - 1 } } \right )$. В этом случае каждый луч после двукратного преломления будет вновь параллелен $AC$ (рис. а). На экране получится равномерно освещенное кольцо (рис б). Радиусы внутренней и внешней окружностей кольца -
$r_{1} = \frac{a}{ \sqrt{2}} \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2n^{2} - 1 } } \right ) + \frac{d_{2} }{2 \sqrt{2} }$,
$r_{2} = \frac{a}{ \sqrt{2}} \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2n^{2} - 1 } } \right ) + \frac{d_{2} }{2 \sqrt{2} }(1 + 2 \sqrt{2})$,
Получающаяся картина от $l$ не зависит.
3) Пусть $a \sqrt{2} \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2n^{2} - 1 } } \right ) < d_{2} < a \sqrt{2}$. В этом случае (рис. а) картина, получающаяся на экране, зависит от того, на каком расстоянии от точки $C$ находится экран. На рисунке б показаны картины, получающиеся при разных положениях экрана: $Э_{1}, Э_{2}, Э_{3}$.
На прозрачное стеклянное тело, представляющее собой два соединенных основаниями конуса, падает пучок параллельных световых лучей, имеющий круглое сечение диаметра $d$ (рис.). Размеры тела указаны на рисунке; показатель преломления стекла $n$. Какая картина будет наблюдаться на экране, установленном на расстоянии $l$ от тела?
Решение:
Изображение на экране будет различным в зависимости от соотношения между $a, d$ и $l$.
1) Рассмотрим случай, когда луч $l(l^{ \prime})$ после преломления на грани $AB(AD)$ попадает в точку $C$ (см. рис. а) В этом случае после двукратного преломления лучей (на гранях $AB$ и $DC, AD$ и $BC$) пучок остается параллельным $AC$ и на экране получится равномерно освещенный круг (рис. б) диаметра $d$. Получающаяся картина от $l$ не зависит.
Значения $d_{1}$, при которых осуществляется такой вариант, определим из рисунка а:
$\frac{d_{1} }{2} = |KA| \sin \alpha = (a - |BK| ) \sin \alpha = (1 - tg \alpha ) \sin \alpha$.
Подставляя
$\sin \alpha = \frac{1}{ \sqrt{2} }, \sin \beta = \frac{ \sin \alpha}{n}. tg \beta = \frac{ \sin \beta}{ \cos \beta} = \frac{1}{ \sqrt{2n^{2} - 1 } }$,
получаем
$d_{1} = a \sqrt{2} \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2n^{2} - 1 } } \right )$.
2) Пусть $0 < d_{2} < a \sqrt{2} \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2n^{2} - 1 } } \right )$. В этом случае каждый луч после двукратного преломления будет вновь параллелен $AC$ (рис. а). На экране получится равномерно освещенное кольцо (рис б). Радиусы внутренней и внешней окружностей кольца -
$r_{1} = \frac{a}{ \sqrt{2}} \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2n^{2} - 1 } } \right ) + \frac{d_{2} }{2 \sqrt{2} }$,
$r_{2} = \frac{a}{ \sqrt{2}} \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2n^{2} - 1 } } \right ) + \frac{d_{2} }{2 \sqrt{2} }(1 + 2 \sqrt{2})$,
Получающаяся картина от $l$ не зависит.
3) Пусть $a \sqrt{2} \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2n^{2} - 1 } } \right ) < d_{2} < a \sqrt{2}$. В этом случае (рис. а) картина, получающаяся на экране, зависит от того, на каком расстоянии от точки $C$ находится экран. На рисунке б показаны картины, получающиеся при разных положениях экрана: $Э_{1}, Э_{2}, Э_{3}$.
