Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12365
2019-12-31 
Концы однородного стержня постоянного сечения поддерживаются при температурах $T_{1}$ и $T_{2}$ ($T_{2} > T_{1}$). Температурный коэффициент линейного расширения материала стержня равен $\alpha$. Чему равна длина стержня, если при $t = 0^{ \circ} С$ она была $l_{0}$?
Решение:
Поскольку температуры на концах стержня поддерживаются постоянными, а стержень однородный и имеет постоянное сечение, через любое поперечное сечение стержня за данный промежуток времени проходит одно и то же количество теплоты, то есть поток тепла через стержень постоянен. Поток тепла пропорционален разности температур, приходящейся на единицу длины стержня, следовательно, температура вдоль стержня возрастает от "холодного" конца к "горячему" по линейному закону. Разделим мысленно стержень на участки малой длины $\delta$ такой, что в пределах каждого участка температуру можно считать постоянной. Пусть $n$ - число участков; тогда $\delta = \frac{l}{n}$, где $l$ - искомая длина стержня. Рассмотрим $i$-й участок (см. рисунок). Температура стержня на этом участке -
$T_{i} = T_{1} + \frac{T_{2} - T_{1} }{n} i$, или $t_{i} = t_{1} + \frac{t_{2} - t_{1} }{n } i$.
При $t = 0^{ \circ} С$ длина этого участка была
$\delta_{0} = \frac{ \delta_{i} }{1 + \alpha y_{i} }$.
Очевидно, что $\sum_{i = 1}{n} \delta_{0}$ - это длина $l_{0}$ стержня при $t = 0^{ \circ} С$, то есть
$l_{0} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{ \delta_{i} }{1 + \alpha t_{i} } = \delta_{i} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + \alpha t_{i} } = \frac{l}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + \alpha t_{i} }$.
Поскольку нас интересует линейное расширение стержня, можно считать, что
$\frac{1}{1 + \alpha t-{i} } = \frac{1 - \alpha t_{i} }{1 - \alpha^{2} t_{i}^{2} } \approx 1 - \alpha t_{i}$.
Тогда
$\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + \alpha t_{i} } \approx \sum_{i = 1}^{n} (1 - \alpha t_{i} ) = n - \alpha \sum_{i = 1}^{n} \left ( t_{1} + \frac{t_{2} - t_{1} }{n} i \right ) = n - \alpha \left ( nt_{1} + \frac{t_{2} - t_{1} }{n} \frac{n(n + 1)}{2} \right ) \approx n \left ( l - \alpha \frac{t_{1} + t_{2} }{2} \right )$
(мы учли, что $m \gg 1$). Таким образом,
$l_{0} = \frac{l}{n} n \left ( 1 - \alpha \frac{t_{1} + t_{2} }{2} \right )$,
откуда
$l = \frac{l_{0} }{1 - \alpha \frac{t_{1} + t_{2} }{2} } \approx l_{0} \left ( 1 + \alpha \frac{t_{1} + t_{2} }{2} \right )$.
Концы однородного стержня постоянного сечения поддерживаются при температурах $T_{1}$ и $T_{2}$ ($T_{2} > T_{1}$). Температурный коэффициент линейного расширения материала стержня равен $\alpha$. Чему равна длина стержня, если при $t = 0^{ \circ} С$ она была $l_{0}$?
Решение:
Поскольку температуры на концах стержня поддерживаются постоянными, а стержень однородный и имеет постоянное сечение, через любое поперечное сечение стержня за данный промежуток времени проходит одно и то же количество теплоты, то есть поток тепла через стержень постоянен. Поток тепла пропорционален разности температур, приходящейся на единицу длины стержня, следовательно, температура вдоль стержня возрастает от "холодного" конца к "горячему" по линейному закону. Разделим мысленно стержень на участки малой длины $\delta$ такой, что в пределах каждого участка температуру можно считать постоянной. Пусть $n$ - число участков; тогда $\delta = \frac{l}{n}$, где $l$ - искомая длина стержня. Рассмотрим $i$-й участок (см. рисунок). Температура стержня на этом участке -
$T_{i} = T_{1} + \frac{T_{2} - T_{1} }{n} i$, или $t_{i} = t_{1} + \frac{t_{2} - t_{1} }{n } i$.
При $t = 0^{ \circ} С$ длина этого участка была
$\delta_{0} = \frac{ \delta_{i} }{1 + \alpha y_{i} }$.
Очевидно, что $\sum_{i = 1}{n} \delta_{0}$ - это длина $l_{0}$ стержня при $t = 0^{ \circ} С$, то есть
$l_{0} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{ \delta_{i} }{1 + \alpha t_{i} } = \delta_{i} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + \alpha t_{i} } = \frac{l}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + \alpha t_{i} }$.
Поскольку нас интересует линейное расширение стержня, можно считать, что
$\frac{1}{1 + \alpha t-{i} } = \frac{1 - \alpha t_{i} }{1 - \alpha^{2} t_{i}^{2} } \approx 1 - \alpha t_{i}$.
Тогда
$\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + \alpha t_{i} } \approx \sum_{i = 1}^{n} (1 - \alpha t_{i} ) = n - \alpha \sum_{i = 1}^{n} \left ( t_{1} + \frac{t_{2} - t_{1} }{n} i \right ) = n - \alpha \left ( nt_{1} + \frac{t_{2} - t_{1} }{n} \frac{n(n + 1)}{2} \right ) \approx n \left ( l - \alpha \frac{t_{1} + t_{2} }{2} \right )$
(мы учли, что $m \gg 1$). Таким образом,
$l_{0} = \frac{l}{n} n \left ( 1 - \alpha \frac{t_{1} + t_{2} }{2} \right )$,
откуда
$l = \frac{l_{0} }{1 - \alpha \frac{t_{1} + t_{2} }{2} } \approx l_{0} \left ( 1 + \alpha \frac{t_{1} + t_{2} }{2} \right )$.
