Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12364
2019-12-31 
Жук ползет по жесткой (непрогибающейся) соломинке опирающейся на гладкий пол и гладкую вертикальную стенку (рис.). Соломинка однородная, длина ее $l$, масса $m$; масса жука $M$ ($M \gg m$). Соломинка образует угол $\alpha$ с горизонтом. Начальная скорость жука в точке В была равна $v_{0}$. Как должен двигаться жук, чтобы соломинка оставалась неподвижной? Как зависит ускорение жука от пройденного им вдоль соломинки расстояния? За какое время жук доползет до нижней точки? Сможет ли жук подняться по соломинке из точки А в точку В?
Решение:
Пусть в некоторый момент времени ускорение, с которым жук ползет вниз вдоль соломинки, равно $\vec{a}$. На жука действуют сила тяжести $M \vec{g}$ и сила $\vec{f}$ реакции со стороны соломинки. Найдем, как направлена сила $\vec{f}$.
Запишем уравнение движения жука.
$M \vec{g} + \vec{f} = M \vec{a}$,
или, в проекциях на оси X и Y (см. рис.):
$Ma = Mg \sin \alpha + f_{x}, f_{y} - Mg \cos \alpha = 0$.
Отсюда $f_{x} = M(a - g \sin \alpha ), f_{y} = Mg \cos \alpha$, и (см. рис.)
$tg \beta = \frac{f_{y} }{f_{x} } = \frac{g \cos \alpha}{ a - g \sin \alpha }$.
Теперь рассмотрим силы, действующие на соломинку (рис.). Это сила тяжести $m \vec{g}$, сила $\vec{N}_{1}$ реакции со стороны гладкой стенки, сила $\vec{N}_{2}$ реакции
со стороны гладкого пола и сила $\vec{f}_{1}$, с которой жук действует на соломинку; согласно III закону Ньютона, $\vec{f}_{1} = - \vec{f}$. Чтобы соломинка оставалась неподвижной, должны выполняться два условия: геометрическая сумма действующих на нее сил должна быть равна нулю и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки должна быть равна нулю. Запишем первое условие (см. рис.):
в проекциях на ось X -
$N_{2} \sin \alpha + f_{1x} - N_{1} \cos \alpha - mg \sin \alpha = 0$,
или
$N_{2} \sin \alpha + M(a - g \sin \alpha ) - N_{1} \cos \alpha - mg \sin \alpha = 0$; (1)
в проекциях на ось Y -
$N_{2} \cos \alpha + N_{1} \sin \alpha - mg \cos \alpha - f_{1y} = 0$,
или
$N_{2} \cos \alpha + N_{1} \sin \alpha - mg \cos \alpha - Mg \cos \alpha = 0$. (2)
Из уравнений (1) и (2) найдем $N_{1}$ и $N_{2}$:
$N_{1} = Ma \cos \alpha, N_{2} = (M + m)g - Ma \sin \alpha$.
Запишем второе условие, рассматривая моменты сил относительно точки В (рис.):
$N_{2}l \cos \alpha - mg \frac{l}{2} \cos \alpha - f_{1}x \sin \beta = 0$,
где $x$ - координата жука к данному моменту. Учитывая, что $f_{1} \sin \beta = f_{1y} = Mg \cos \alpha$, и подставляя найденные значения $N_{1}$ и $N_{2}$, получаем
$Mgl - Mal \sin \alpha + mg \frac{l}{2} - Mgx = 0$.
Перепишем это уравнение в таком виде:
$x - l \frac{2M + m}{2M} = - a \frac{l \sin \alpha}{g}$ (3)
и введем обозначения $x - l \frac{2M + m}{2M} = z, \frac{g}{l \sin \alpha } = \omega^{2}$. Учитывая, что $a = x^{ \prime \prime} = \left ( z + l \frac{2M + m}{2M} \right )^{ \prime \prime} = z^{ \prime \prime}$, уравнение (3) можно записать так:
$z^{ \prime \prime} = - \omega^{2}z$.
Полученное нами уравнение - уравнение гармонических колебаний. В общем случае решение такого уравнения записывается в виде
$z(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t$, (4)
а постоянные $A$ и $B$ находятся из начальных условий. В нашем случае начальные условия (при $t = 0$) таковы:
$x(t_{0}) = z(t_{0}) + l \frac{2M + m}{2M} = 0 \Rightarrow z(t_{0} ) = - l \frac{2M + m}{2M}$,
$x^{ \prime} (t_{0}) = v_{0} \Rightarrow z^{ \prime}(t_{0}) = v_{0}$.
Подставляя в уравнение (4) $t = 0$ и $z(t_{0})$, получаем
$B = - l \frac{2M + m}{2M} $
Продифференцировав уравнение (4) и подставив $t = 0$ и $z^{ \prime} (t_{0})$, получим:
$A = \frac{v_{0} }{ \omega}$
Таким образом,
$z(t) = \frac{v_{0} }{ \omega } \sin \omega t - l \frac{2M + m}{2M} \cos \omega t$,
и, следовательно,
$x(t) = \frac{v_{0} }{ \omega } \sin \omega t + l \frac{2M + m}{2M} (1 - \cos \omega t)$. (5)
Итак, закон движения жука при условии, что соломинка неподвижна, дает формула (5). Ускорение, с которым движется жук в произвольный момент времени, определяется формулой (3) -
$a(t) = \frac{g }{ \sin \alpha} \left ( \frac{2M + m}{2M} \right ) - \frac{g}{l \sin \alpha} x(t)$ (6)
- и зависит от $x$ линейно.
Время $\tau$, за которое жук доползет от точки $B$ до точки $A$, определяется условием $x( \tau ) = l$, то есть
$l = \frac{v_{0} }{ \omega } \sin \omega \tau + l \frac{2M + m}{2M} (1 - \cos \omega \tau)$. (7)
Если масса соломинки пренебрежимо мала по сравнению с массой жука ($m \gg M)$, то
$x(t) = l - l \cos \omega t + \frac{v_{0} }{ \omega } \sin \omega t$, ($5^{ \prime}$)
$a(t) = \frac{g}{ \sin a} \left ( 1 - \frac{1}{l} x(t) \right )$, ($6^{ \prime}$ )
и время $\tau$ определяется условием
$\frac{v_{0} }{ \omega} \sin \omega \tau = l \cos \omega \tau \Rightarrow tg \omega \tau = \frac{ \omega l}{v_{0} }$. ($7^{ \prime}$)
Подняться по соломинке из точки $A$ в точку $B$ так, чтобы соломинка оставалась неподвижной, жук может только в том случае, если в каждой точке (в том числе и в точке $A$) ускорение жука будет таким же, как в рассмотренном нами случае движения сверху вниз. Покажите это сами.
Жук ползет по жесткой (непрогибающейся) соломинке опирающейся на гладкий пол и гладкую вертикальную стенку (рис.). Соломинка однородная, длина ее $l$, масса $m$; масса жука $M$ ($M \gg m$). Соломинка образует угол $\alpha$ с горизонтом. Начальная скорость жука в точке В была равна $v_{0}$. Как должен двигаться жук, чтобы соломинка оставалась неподвижной? Как зависит ускорение жука от пройденного им вдоль соломинки расстояния? За какое время жук доползет до нижней точки? Сможет ли жук подняться по соломинке из точки А в точку В?
Решение:
Пусть в некоторый момент времени ускорение, с которым жук ползет вниз вдоль соломинки, равно $\vec{a}$. На жука действуют сила тяжести $M \vec{g}$ и сила $\vec{f}$ реакции со стороны соломинки. Найдем, как направлена сила $\vec{f}$.
Запишем уравнение движения жука.
$M \vec{g} + \vec{f} = M \vec{a}$,
или, в проекциях на оси X и Y (см. рис.):
$Ma = Mg \sin \alpha + f_{x}, f_{y} - Mg \cos \alpha = 0$.
Отсюда $f_{x} = M(a - g \sin \alpha ), f_{y} = Mg \cos \alpha$, и (см. рис.)
$tg \beta = \frac{f_{y} }{f_{x} } = \frac{g \cos \alpha}{ a - g \sin \alpha }$.
Теперь рассмотрим силы, действующие на соломинку (рис.). Это сила тяжести $m \vec{g}$, сила $\vec{N}_{1}$ реакции со стороны гладкой стенки, сила $\vec{N}_{2}$ реакции
со стороны гладкого пола и сила $\vec{f}_{1}$, с которой жук действует на соломинку; согласно III закону Ньютона, $\vec{f}_{1} = - \vec{f}$. Чтобы соломинка оставалась неподвижной, должны выполняться два условия: геометрическая сумма действующих на нее сил должна быть равна нулю и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки должна быть равна нулю. Запишем первое условие (см. рис.):
в проекциях на ось X -
$N_{2} \sin \alpha + f_{1x} - N_{1} \cos \alpha - mg \sin \alpha = 0$,
или
$N_{2} \sin \alpha + M(a - g \sin \alpha ) - N_{1} \cos \alpha - mg \sin \alpha = 0$; (1)
в проекциях на ось Y -
$N_{2} \cos \alpha + N_{1} \sin \alpha - mg \cos \alpha - f_{1y} = 0$,
или
$N_{2} \cos \alpha + N_{1} \sin \alpha - mg \cos \alpha - Mg \cos \alpha = 0$. (2)
Из уравнений (1) и (2) найдем $N_{1}$ и $N_{2}$:
$N_{1} = Ma \cos \alpha, N_{2} = (M + m)g - Ma \sin \alpha$.
Запишем второе условие, рассматривая моменты сил относительно точки В (рис.):
$N_{2}l \cos \alpha - mg \frac{l}{2} \cos \alpha - f_{1}x \sin \beta = 0$,
где $x$ - координата жука к данному моменту. Учитывая, что $f_{1} \sin \beta = f_{1y} = Mg \cos \alpha$, и подставляя найденные значения $N_{1}$ и $N_{2}$, получаем
$Mgl - Mal \sin \alpha + mg \frac{l}{2} - Mgx = 0$.
Перепишем это уравнение в таком виде:
$x - l \frac{2M + m}{2M} = - a \frac{l \sin \alpha}{g}$ (3)
и введем обозначения $x - l \frac{2M + m}{2M} = z, \frac{g}{l \sin \alpha } = \omega^{2}$. Учитывая, что $a = x^{ \prime \prime} = \left ( z + l \frac{2M + m}{2M} \right )^{ \prime \prime} = z^{ \prime \prime}$, уравнение (3) можно записать так:
$z^{ \prime \prime} = - \omega^{2}z$.
Полученное нами уравнение - уравнение гармонических колебаний. В общем случае решение такого уравнения записывается в виде
$z(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t$, (4)
а постоянные $A$ и $B$ находятся из начальных условий. В нашем случае начальные условия (при $t = 0$) таковы:
$x(t_{0}) = z(t_{0}) + l \frac{2M + m}{2M} = 0 \Rightarrow z(t_{0} ) = - l \frac{2M + m}{2M}$,
$x^{ \prime} (t_{0}) = v_{0} \Rightarrow z^{ \prime}(t_{0}) = v_{0}$.
Подставляя в уравнение (4) $t = 0$ и $z(t_{0})$, получаем
$B = - l \frac{2M + m}{2M} $
Продифференцировав уравнение (4) и подставив $t = 0$ и $z^{ \prime} (t_{0})$, получим:
$A = \frac{v_{0} }{ \omega}$
Таким образом,
$z(t) = \frac{v_{0} }{ \omega } \sin \omega t - l \frac{2M + m}{2M} \cos \omega t$,
и, следовательно,
$x(t) = \frac{v_{0} }{ \omega } \sin \omega t + l \frac{2M + m}{2M} (1 - \cos \omega t)$. (5)
Итак, закон движения жука при условии, что соломинка неподвижна, дает формула (5). Ускорение, с которым движется жук в произвольный момент времени, определяется формулой (3) -
$a(t) = \frac{g }{ \sin \alpha} \left ( \frac{2M + m}{2M} \right ) - \frac{g}{l \sin \alpha} x(t)$ (6)
- и зависит от $x$ линейно.
Время $\tau$, за которое жук доползет от точки $B$ до точки $A$, определяется условием $x( \tau ) = l$, то есть
$l = \frac{v_{0} }{ \omega } \sin \omega \tau + l \frac{2M + m}{2M} (1 - \cos \omega \tau)$. (7)
Если масса соломинки пренебрежимо мала по сравнению с массой жука ($m \gg M)$, то
$x(t) = l - l \cos \omega t + \frac{v_{0} }{ \omega } \sin \omega t$, ($5^{ \prime}$)
$a(t) = \frac{g}{ \sin a} \left ( 1 - \frac{1}{l} x(t) \right )$, ($6^{ \prime}$ )
и время $\tau$ определяется условием
$\frac{v_{0} }{ \omega} \sin \omega \tau = l \cos \omega \tau \Rightarrow tg \omega \tau = \frac{ \omega l}{v_{0} }$. ($7^{ \prime}$)
Подняться по соломинке из точки $A$ в точку $B$ так, чтобы соломинка оставалась неподвижной, жук может только в том случае, если в каждой точке (в том числе и в точке $A$) ускорение жука будет таким же, как в рассмотренном нами случае движения сверху вниз. Покажите это сами.
