Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12363
2019-12-31 
При разрыве неподвижного зенитного снаряда он разлетается на очень большое число осколков, летящих равномерно во все стороны со скоростью $v_{0}$. Такой снаряд, летящий вниз со скоростью $u$, разрывается на высоте $H$ над землей. Когда осколки будут падать на землю наиболее часто?
Решение:
После разрыва снаряда множество разлетающихся во все стороны осколков образуют расширяющуюся равномерно со скоростью $v_{0}$ сферу, центр которой движется вниз с ускорением $g$ и с начальной скоростью $u$. Таким образом, ко времени $t$ от момента разрыва центр сферы сместится от точки А, лежащей на высоте $H$ над землей (в этой точке произошел разрыв) на расстояние $AO = ut + \frac{gt^{2}}{2}$ (см. рисунок), а радиус сферы будет равен $R_{l} = v_{0}t$. Пусть к этому времени центр сферы находится над землей на высоте $(R_{l} - h_{l}) < R$. Значит, те осколки, которые должны были бы лежать на поверхности сферического сегмента с высотой $h_{l}$ (см. рисунок) упали на землю. Найдем массу $m(t)$ этих осколков.
Пусть $m_{0}$ - масса всех осколков (масса снаряда); тогда
$m(t) = m_{0} \frac{S(h_{l}) }{S(R_{l} )} = m_{0} \frac{2 \pi R_{l}h_{l} }{2 \pi R_{l}^{2} } = m_{0} \frac{h_{l} }{R_{l} }$,
где $S(h_{l})$ - площадь сферического сегмента с высотой $h_{l}, S(R_{l} )$ - площадь всей сферы к моменту времени $t$. Подставляя $R_{l} = v_{0}t$ и $h_{l} = ut + \frac{gt^{2}}{2} + v_{0}t - H$ (см. рисунок), получаем
$m(t) = m_{0} \left ( \frac{u + v_{0} }{2v_{0} } + \frac{gt}{4v_{0} } - \frac{H}{2v_{0}t } \right )$. (1)
Полученная формула верна для промежутка времени $t_{1} \leq t \leq t_{2}$, где $t_{1}$ - время, прошедшее после взрыва до начала падения осколков на землю, $t{2}$ - время, прошедшее до падения на землю последнего осколка. Найдем значения $t_{1}$ и $t_{2}$.
Первым упадет на землю осколок, скорость которого в точке А равна $| \vec{u} + \vec{v}_{0} | = u + v_{0}$; следовательно.
$(u + v_{0})t_{1} + \frac{gt_{1}^{2} }{2} = H$,
откуда
$t_{1} = \frac{ \sqrt{2gH + (u + v_{0} )^{2} } - (u + v_{0} ) }{g}$. (2)
Время $t_{2}$ находим из условия
$(u - v_{0} )t_{2} + \frac{gt_{2}^{2} }{2} = H$,
откуда
$t_{2} = \frac{ \sqrt{2gH + (u - v_{0} )^{2} } - (u - v_{0} ) }{g}$.
Вернемся к формуле (1). Понятно, что частота падения осколков на землю в данный момент времени - это значение производной $m^{ \prime}(t)$:
$m^{ \prime}(t)= \frac{m_{0}g }{4v_{0} } + \frac{m_{0}H }{2v_{0}t^{2} }$.
Очевидно, что значение $m^{ \prime}(t)$ тем больше, чем меньше $t$. Следовательно, с наибольшей частотой осколки будут падать на землю через время $t_{1}$ (см. (2)) после разрыва снаряда.
При разрыве неподвижного зенитного снаряда он разлетается на очень большое число осколков, летящих равномерно во все стороны со скоростью $v_{0}$. Такой снаряд, летящий вниз со скоростью $u$, разрывается на высоте $H$ над землей. Когда осколки будут падать на землю наиболее часто?
Решение:
После разрыва снаряда множество разлетающихся во все стороны осколков образуют расширяющуюся равномерно со скоростью $v_{0}$ сферу, центр которой движется вниз с ускорением $g$ и с начальной скоростью $u$. Таким образом, ко времени $t$ от момента разрыва центр сферы сместится от точки А, лежащей на высоте $H$ над землей (в этой точке произошел разрыв) на расстояние $AO = ut + \frac{gt^{2}}{2}$ (см. рисунок), а радиус сферы будет равен $R_{l} = v_{0}t$. Пусть к этому времени центр сферы находится над землей на высоте $(R_{l} - h_{l}) < R$. Значит, те осколки, которые должны были бы лежать на поверхности сферического сегмента с высотой $h_{l}$ (см. рисунок) упали на землю. Найдем массу $m(t)$ этих осколков.
Пусть $m_{0}$ - масса всех осколков (масса снаряда); тогда
$m(t) = m_{0} \frac{S(h_{l}) }{S(R_{l} )} = m_{0} \frac{2 \pi R_{l}h_{l} }{2 \pi R_{l}^{2} } = m_{0} \frac{h_{l} }{R_{l} }$,
где $S(h_{l})$ - площадь сферического сегмента с высотой $h_{l}, S(R_{l} )$ - площадь всей сферы к моменту времени $t$. Подставляя $R_{l} = v_{0}t$ и $h_{l} = ut + \frac{gt^{2}}{2} + v_{0}t - H$ (см. рисунок), получаем
$m(t) = m_{0} \left ( \frac{u + v_{0} }{2v_{0} } + \frac{gt}{4v_{0} } - \frac{H}{2v_{0}t } \right )$. (1)
Полученная формула верна для промежутка времени $t_{1} \leq t \leq t_{2}$, где $t_{1}$ - время, прошедшее после взрыва до начала падения осколков на землю, $t{2}$ - время, прошедшее до падения на землю последнего осколка. Найдем значения $t_{1}$ и $t_{2}$.
Первым упадет на землю осколок, скорость которого в точке А равна $| \vec{u} + \vec{v}_{0} | = u + v_{0}$; следовательно.
$(u + v_{0})t_{1} + \frac{gt_{1}^{2} }{2} = H$,
откуда
$t_{1} = \frac{ \sqrt{2gH + (u + v_{0} )^{2} } - (u + v_{0} ) }{g}$. (2)
Время $t_{2}$ находим из условия
$(u - v_{0} )t_{2} + \frac{gt_{2}^{2} }{2} = H$,
откуда
$t_{2} = \frac{ \sqrt{2gH + (u - v_{0} )^{2} } - (u - v_{0} ) }{g}$.
Вернемся к формуле (1). Понятно, что частота падения осколков на землю в данный момент времени - это значение производной $m^{ \prime}(t)$:
$m^{ \prime}(t)= \frac{m_{0}g }{4v_{0} } + \frac{m_{0}H }{2v_{0}t^{2} }$.
Очевидно, что значение $m^{ \prime}(t)$ тем больше, чем меньше $t$. Следовательно, с наибольшей частотой осколки будут падать на землю через время $t_{1}$ (см. (2)) после разрыва снаряда.
