Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12361
2019-12-31 
Вагон массы $M$, установленный на рессорах с жесткостью $k$, катится по горизонтальному участку пути со скоростью $v_{0}$. После прохождения прямолинейного наклонного участка пути с перепадом высот $H$, составляющего угол $\alpha$ с горизонтом (рис.), вагон приобретает скорость $v_{x}$. Определить значение $v_{x}$, пренебрегая трением в колесах. Считать, что период колебаний вагона на рессорах много меньше времени прохождения наклонного участка пути и много больше времени прохождения округлений, сопрягающих наклонный и прямолинейные участки пути; рессоры "пружинят" только в направлении, перпендикулярном плоскости рельсов.
Решение:
При прохождении вагоном скруглений возникают колебания. При этом часть кинетической энергии вагона переходит в энергию колебаний, которая затем, когда колебания затухают, переходит в тепло. Таким образом,
$\frac{Mv_{x}^{2} }{2} + U = \frac{Mv_{0}^{2} }{2} + MgH$, (*)
где $U$ - энергия колебаний. Определим $U$.
При прохождении первого скругления нагрузка на рессоры уменьшается, так как сила нормального давления становится равной $F_{2} = Mg \cos \alpha$, а не $F_{1} = Mg$, как было на прямолинейном участке. При прохождении второго скругления нагрузка возрастает до прежней величины. За время спуска по наклонному участку колебания, вызванные уменьшением нагрузки, успевают затухнуть, так что оба процесса надлежит рассматривать независимо.
Рассмотрим пружину, сжатую силой $F = F_{1}$ и находящуюся в равновесии. Длина пружины меньше длины ненагруженной пружины на $x_{1} = \frac{F_{1}}{k}$. При ослаблении нагрузки до величины $F_{2} < F_{1}$ происходят колебания около нового положения равновесия, соответствующего сжатию пружины на $x_{2} = \frac{F_{2}}{k}$. После затухания колебаний пружина устанавливается в этом равновесном положении. Полная работа сил упругости пружины, равная разности упругих энергий в первом и во втором положениях, -
$A_{упр} = \frac{1}{2} (F_{1}x_{1} - F_{2}x_{2}) = \frac{k}{2} (x_{1}^{2} - x_{2}^{2} ) = \frac{1}{2k} (F_{1}^{2} - F_{2}^{2} )$
(на рисунке этой работе соответствует площадь трапеции, заштрихованной вертикально). Если ослабление нагрузки произошло за время, гораздо меньшее периода колебаний, то можно считать, что во время изменения координаты сила нормального давления все время равна приближенно $F_{2}$, так что работа против сил нагрузки равна
$A_{нагр} = F_{2} (x_{1} - x_{2})$
(на рисунке этой величине соответствует площадь горизонтально заштрихованного прямоугольника). Разность двух вычисленных работ равна энергии колебаний, перешедшей в тепло при затухании колебаний, то есть
$U_{1} = \frac{(F_{1} + F_{2})(F_{1} - F_{2})}{2k} - \frac{F_{2}(F_{1} - F_{2} ) }{k} = \frac{(F_{1} - F_{2} )^{2} }{2k}$
(на рисунке этой энергии соответствует площадь вертикально заштрихованного треугольника).
При быстром возрастании нагрузки от $F_{2}$ до $F_{1}$ работа сил упругости за время, большее времени затухания колебаний, равна площади трапеции, заштрихованной на рисунке вертикально. Силу нагрузки все это время можно считать равной приближенно $F_{1}$; работа, которая совершается против сил нагрузки, - $F_{1}(x_{1} - x_{2})$ (площадь горизонтально заштрихованного прямоугольника на рисунке). В тепло переходит энергия, равная разности этих работ, то есть
$U_{2} = \frac{1}{2} (F_{1} - F_{2})(x_{1} - x_{2}) = \frac{(F_{1} - F_{2} )^{2} }{2k}$
(площадь горизонтально заштрихованного треугольника на рисунке).
Таким образом, в результате процессов уменьшения нагрузки от $F_{1}$ до $F_{2}$ и затем возрастания ее до прежней величины $F_{1}$ в тепло переходит энергия
$U = U_{1} + U_{2} = \frac{(F_{1} - F_{2} )^{2} }{k} = \frac{(Mg(1 - \cos \alpha))^{2} }{k}$.
Подставив это значение $U$ в уравнение (*), найдем $v_{x}$:
$v_{x} = \sqrt{v_{0}^{2} + gH - 2Mg^{2} \frac{ (1 - \cos \alpha)^{2}}{k}}$.
Эта формула применима, пока $k$ достаточно велико, чтобы обеспечить малость периода и времени затухания по сравнению со временем спуска.
Вагон массы $M$, установленный на рессорах с жесткостью $k$, катится по горизонтальному участку пути со скоростью $v_{0}$. После прохождения прямолинейного наклонного участка пути с перепадом высот $H$, составляющего угол $\alpha$ с горизонтом (рис.), вагон приобретает скорость $v_{x}$. Определить значение $v_{x}$, пренебрегая трением в колесах. Считать, что период колебаний вагона на рессорах много меньше времени прохождения наклонного участка пути и много больше времени прохождения округлений, сопрягающих наклонный и прямолинейные участки пути; рессоры "пружинят" только в направлении, перпендикулярном плоскости рельсов.
Решение:
При прохождении вагоном скруглений возникают колебания. При этом часть кинетической энергии вагона переходит в энергию колебаний, которая затем, когда колебания затухают, переходит в тепло. Таким образом,
$\frac{Mv_{x}^{2} }{2} + U = \frac{Mv_{0}^{2} }{2} + MgH$, (*)
где $U$ - энергия колебаний. Определим $U$.
При прохождении первого скругления нагрузка на рессоры уменьшается, так как сила нормального давления становится равной $F_{2} = Mg \cos \alpha$, а не $F_{1} = Mg$, как было на прямолинейном участке. При прохождении второго скругления нагрузка возрастает до прежней величины. За время спуска по наклонному участку колебания, вызванные уменьшением нагрузки, успевают затухнуть, так что оба процесса надлежит рассматривать независимо.
Рассмотрим пружину, сжатую силой $F = F_{1}$ и находящуюся в равновесии. Длина пружины меньше длины ненагруженной пружины на $x_{1} = \frac{F_{1}}{k}$. При ослаблении нагрузки до величины $F_{2} < F_{1}$ происходят колебания около нового положения равновесия, соответствующего сжатию пружины на $x_{2} = \frac{F_{2}}{k}$. После затухания колебаний пружина устанавливается в этом равновесном положении. Полная работа сил упругости пружины, равная разности упругих энергий в первом и во втором положениях, -
$A_{упр} = \frac{1}{2} (F_{1}x_{1} - F_{2}x_{2}) = \frac{k}{2} (x_{1}^{2} - x_{2}^{2} ) = \frac{1}{2k} (F_{1}^{2} - F_{2}^{2} )$
(на рисунке этой работе соответствует площадь трапеции, заштрихованной вертикально). Если ослабление нагрузки произошло за время, гораздо меньшее периода колебаний, то можно считать, что во время изменения координаты сила нормального давления все время равна приближенно $F_{2}$, так что работа против сил нагрузки равна
$A_{нагр} = F_{2} (x_{1} - x_{2})$
(на рисунке этой величине соответствует площадь горизонтально заштрихованного прямоугольника). Разность двух вычисленных работ равна энергии колебаний, перешедшей в тепло при затухании колебаний, то есть
$U_{1} = \frac{(F_{1} + F_{2})(F_{1} - F_{2})}{2k} - \frac{F_{2}(F_{1} - F_{2} ) }{k} = \frac{(F_{1} - F_{2} )^{2} }{2k}$
(на рисунке этой энергии соответствует площадь вертикально заштрихованного треугольника).
При быстром возрастании нагрузки от $F_{2}$ до $F_{1}$ работа сил упругости за время, большее времени затухания колебаний, равна площади трапеции, заштрихованной на рисунке вертикально. Силу нагрузки все это время можно считать равной приближенно $F_{1}$; работа, которая совершается против сил нагрузки, - $F_{1}(x_{1} - x_{2})$ (площадь горизонтально заштрихованного прямоугольника на рисунке). В тепло переходит энергия, равная разности этих работ, то есть
$U_{2} = \frac{1}{2} (F_{1} - F_{2})(x_{1} - x_{2}) = \frac{(F_{1} - F_{2} )^{2} }{2k}$
(площадь горизонтально заштрихованного треугольника на рисунке).
Таким образом, в результате процессов уменьшения нагрузки от $F_{1}$ до $F_{2}$ и затем возрастания ее до прежней величины $F_{1}$ в тепло переходит энергия
$U = U_{1} + U_{2} = \frac{(F_{1} - F_{2} )^{2} }{k} = \frac{(Mg(1 - \cos \alpha))^{2} }{k}$.
Подставив это значение $U$ в уравнение (*), найдем $v_{x}$:
$v_{x} = \sqrt{v_{0}^{2} + gH - 2Mg^{2} \frac{ (1 - \cos \alpha)^{2}}{k}}$.
Эта формула применима, пока $k$ достаточно велико, чтобы обеспечить малость периода и времени затухания по сравнению со временем спуска.
