Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12359
2019-12-31 
Вымпел на мачте корабля образует угол $60^{ \circ}$ с курсом корабля при его скорости 20 км/ч. Не меняя курса, корабль увеличил скорость в 2 раза, и угол стал равным $30^{ \circ}$. Найти по этим данным скорость ветра (считая ее неизменной). При какой скорости корабля угол станет равным $90^{ \circ}$?
Решение:
Вымпел на мачте корабля показывает направление вектора $\vec{u} + \vec{v}$ где $\vec{v}$ - вектор скорости корабля (он определяет курс корабля), $\vec{u}$ - вектор скорости ветра.
Спроектируем вектор $\vec{u}$ на направление курса корабля и на направление, перпендикулярное курсу. Пусть $u_{1}$ и $u_{2}$ - абсолютные значения соответствующих проекций. Поскольку направление ветра нам неизвестно, мы можем в общем случае записать следующие соотношения:
при скорости корабля $| \vec{v} | = 20 км/ч$ -
$\frac{ \pm u_{2} }{v \pm u_{1} } = tg 60^{ \circ} = \sqrt{3}$, (1)
при скорости корабля $2| \vec{v} | = 40 км/ч$ -
$\frac{ \pm u_{2} }{2v \pm u_{1} } = tg 30^{ \circ} = \frac{ \sqrt{3}}{3}$, (2)
Решив совместно уравнения (1) и (2), найдем
$u_{1} = \frac{1}{2}v, u_{2} = \frac{ \sqrt{3} }{2} v$.
Отсюда можно найти модуль вектора скорости ветра:
$| \vec{u} |= \sqrt{ u_{1}^{2} + u_{2}^{2}} = | \vec{v} | = 20 км/ч$.
Направление вектора $\vec{u}$ по этим данным найти нельзя, но можно сказать, что угол $\alpha$, который образует вектор скорости ветра с курсом корабля, с точностью до знака определяется условием
$tg \alpha = \pm \frac{u_{2} }{u_{1} } = \pm \sqrt{3}$.
В том случае, когда вымпел образует угол $90^{ \circ}$ с курсом корабля, скорость $v_{x}$ корабля и скорость и ветра связаны соотношением
$| \vec{u} |^{2} - | \vec{v}_{x} |^{2} = u_{2}^{2}$, или $u_{1}^{2} + u_{2}^{2} - | \vec{v}_{x} |^{2} = u_{2}^{2}$,
откуда
$| \vec{v}_{x} | = u_{1} = \frac{1}{2} v = 10 км/ч$.
Итак, вымпел будет составлять с курсом корабля угол $90^{ \circ}$ при скорости корабля $| \vec{v}_{x} | = 10 км/ч$.
Вымпел на мачте корабля образует угол $60^{ \circ}$ с курсом корабля при его скорости 20 км/ч. Не меняя курса, корабль увеличил скорость в 2 раза, и угол стал равным $30^{ \circ}$. Найти по этим данным скорость ветра (считая ее неизменной). При какой скорости корабля угол станет равным $90^{ \circ}$?
Решение:
Вымпел на мачте корабля показывает направление вектора $\vec{u} + \vec{v}$ где $\vec{v}$ - вектор скорости корабля (он определяет курс корабля), $\vec{u}$ - вектор скорости ветра.
Спроектируем вектор $\vec{u}$ на направление курса корабля и на направление, перпендикулярное курсу. Пусть $u_{1}$ и $u_{2}$ - абсолютные значения соответствующих проекций. Поскольку направление ветра нам неизвестно, мы можем в общем случае записать следующие соотношения:
при скорости корабля $| \vec{v} | = 20 км/ч$ -
$\frac{ \pm u_{2} }{v \pm u_{1} } = tg 60^{ \circ} = \sqrt{3}$, (1)
при скорости корабля $2| \vec{v} | = 40 км/ч$ -
$\frac{ \pm u_{2} }{2v \pm u_{1} } = tg 30^{ \circ} = \frac{ \sqrt{3}}{3}$, (2)
Решив совместно уравнения (1) и (2), найдем
$u_{1} = \frac{1}{2}v, u_{2} = \frac{ \sqrt{3} }{2} v$.
Отсюда можно найти модуль вектора скорости ветра:
$| \vec{u} |= \sqrt{ u_{1}^{2} + u_{2}^{2}} = | \vec{v} | = 20 км/ч$.
Направление вектора $\vec{u}$ по этим данным найти нельзя, но можно сказать, что угол $\alpha$, который образует вектор скорости ветра с курсом корабля, с точностью до знака определяется условием
$tg \alpha = \pm \frac{u_{2} }{u_{1} } = \pm \sqrt{3}$.
В том случае, когда вымпел образует угол $90^{ \circ}$ с курсом корабля, скорость $v_{x}$ корабля и скорость и ветра связаны соотношением
$| \vec{u} |^{2} - | \vec{v}_{x} |^{2} = u_{2}^{2}$, или $u_{1}^{2} + u_{2}^{2} - | \vec{v}_{x} |^{2} = u_{2}^{2}$,
откуда
$| \vec{v}_{x} | = u_{1} = \frac{1}{2} v = 10 км/ч$.
Итак, вымпел будет составлять с курсом корабля угол $90^{ \circ}$ при скорости корабля $| \vec{v}_{x} | = 10 км/ч$.
