Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12358
2019-12-31 
Представьте себе, что вы стоите перед большим листом толстого прозрачного стекла (например, перед стеклянной витриной). Каким образом можно определить толщину стекла, если доступа к его краям нет (скажем, края стекла замурованы в стены), в помещение за стеклом проникнуть нельзя, разбить стекло тоже нельзя? В вашем распоряжении имеются линейка, угольник, бумага, карандаш и карманный калькулятор для проведения расчетов.
Решение:
Если приставить линейку под прямым углом к стеклу, то мы увидим два ее отражения: в ближней (I) и дальней (II) поверхностях стекла (см. рис.). Первое изображение дает нам как бы "линейку за зеркалом", но которой можно измерить положение конца второго изображения при разных углах наблюдения. Это позволяет определить толщину стекла.
Глядя в стекло, мы видим конец второго отражения линейки не в точке $a^{ \prime}$, где он находятся на самом деле, а в точке $a^{ \prime \prime}$. Положение этой точки мы и можем фиксировать по "линейке за зеркалом".
Пусть толщина стекла $d$, показатель преломления $n$. Как видно из рисунка.
$d^{ \prime} tg \alpha = 2d tg \beta \Rightarrow d = \frac{d^{ \prime} }{2} \frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta} \frac{ \cos \alpha}{ \cos \beta}$.
Подставив $n = \frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta}, \cos \beta = \sqrt{ 1 - \frac{ \sin^{2} \alpha }{n^{2} } }$, получим
$d = \frac{d^{ \prime} }{2} \frac{ \sqrt{ n^{2} - \sin^{2} \alpha } }{ \cos \alpha }$.
В этом выражении $d^{ \prime}, \sin \alpha , \cos \alpha$ - те величины, которые мы можем измерить и вычислить, пользуясь нашими инструментами. Чтобы избавиться от неизвестного показателя преломления $n$, поступим так. Произведем измерения $d^{ \prime}$ при двух значениях угла падения $\alpha$ (значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ легко найти, измеряя расстояния от глаза до стекла и до точки пересечения луча зрении со стеклом). Тогда
$\frac{d_{1}^{ \prime}}{2} {\sqrt{ n^{2} - \sin^{2} \alpha_{1}}}{ \cos \alpha_{1} } = \frac{d_{2}^{ \prime} }{2} \frac{(n^{2} - \sin^{2} \alpha_{2} )}{ \cos \alpha_{2} }$
Отсюда после несложных преобразований получим
$d = \frac{d_{1}^{ \prime}d_{2}^{ \prime} }{2} \sqrt{ \frac{ \sin^{2} \alpha_{2} - \sin^{2} \alpha_{1} }{(d_{2}^{ \prime} )^{2} \cos^{2} \alpha_{1} - (d_{1}^{ \prime} )^{2} \cos^{2} \alpha_{2} } }$.
Представьте себе, что вы стоите перед большим листом толстого прозрачного стекла (например, перед стеклянной витриной). Каким образом можно определить толщину стекла, если доступа к его краям нет (скажем, края стекла замурованы в стены), в помещение за стеклом проникнуть нельзя, разбить стекло тоже нельзя? В вашем распоряжении имеются линейка, угольник, бумага, карандаш и карманный калькулятор для проведения расчетов.
Решение:
Если приставить линейку под прямым углом к стеклу, то мы увидим два ее отражения: в ближней (I) и дальней (II) поверхностях стекла (см. рис.). Первое изображение дает нам как бы "линейку за зеркалом", но которой можно измерить положение конца второго изображения при разных углах наблюдения. Это позволяет определить толщину стекла.
Глядя в стекло, мы видим конец второго отражения линейки не в точке $a^{ \prime}$, где он находятся на самом деле, а в точке $a^{ \prime \prime}$. Положение этой точки мы и можем фиксировать по "линейке за зеркалом".
Пусть толщина стекла $d$, показатель преломления $n$. Как видно из рисунка.
$d^{ \prime} tg \alpha = 2d tg \beta \Rightarrow d = \frac{d^{ \prime} }{2} \frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta} \frac{ \cos \alpha}{ \cos \beta}$.
Подставив $n = \frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta}, \cos \beta = \sqrt{ 1 - \frac{ \sin^{2} \alpha }{n^{2} } }$, получим
$d = \frac{d^{ \prime} }{2} \frac{ \sqrt{ n^{2} - \sin^{2} \alpha } }{ \cos \alpha }$.
В этом выражении $d^{ \prime}, \sin \alpha , \cos \alpha$ - те величины, которые мы можем измерить и вычислить, пользуясь нашими инструментами. Чтобы избавиться от неизвестного показателя преломления $n$, поступим так. Произведем измерения $d^{ \prime}$ при двух значениях угла падения $\alpha$ (значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ легко найти, измеряя расстояния от глаза до стекла и до точки пересечения луча зрении со стеклом). Тогда
$\frac{d_{1}^{ \prime}}{2} {\sqrt{ n^{2} - \sin^{2} \alpha_{1}}}{ \cos \alpha_{1} } = \frac{d_{2}^{ \prime} }{2} \frac{(n^{2} - \sin^{2} \alpha_{2} )}{ \cos \alpha_{2} }$
Отсюда после несложных преобразований получим
$d = \frac{d_{1}^{ \prime}d_{2}^{ \prime} }{2} \sqrt{ \frac{ \sin^{2} \alpha_{2} - \sin^{2} \alpha_{1} }{(d_{2}^{ \prime} )^{2} \cos^{2} \alpha_{1} - (d_{1}^{ \prime} )^{2} \cos^{2} \alpha_{2} } }$.
