Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12353
2019-12-31 
В колебательном $RLC$ контуре сопротивление невелико, так что колебания затухают в нем слабо. Для получения незатухающих колебаний поступают следующим образом: дважды за период в моменты, когда ток в цепи максимален, катушку индуктивности быстро растягивают от длины $l$ до длины $l + \Delta l$, а в моменты, когда максимален заряд на конденсаторе, катушку быстро сжимают до прежнего размера (параметрический резонанс). При каком относительном изменении длины катушки $\Delta l /l$ колебания в контуре будут незатухающими? Индуктивность катушки считать пропорциональной ее длине.
Решение:
При растягивании катушки совершается работа против сил притяжения ее витков. Эта работа идет на увеличение энергии колебательной системы и должна быть не меньше убыли энергии из-за джоулевых потерь на сопротивлении.
По закону индукции Фарадея $\mathcal{E}_{инд} = - \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t}$ и $I_{инд} = - \frac{1}{R} \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t}$. При быстром растягивании катушки $\Delta t \rightarrow 0$, а поскольку ток не может достигать бесконечно больших значений, то в этом случае и $\Delta \Phi \rightarrow 0$, то есть в этом процессе сохраняется магнитный поток $\Phi$.
Работа, совершаемая при растягивании, идет только на увеличение энергии магнитного поля:
$\Delta A = \Delta W_{+} = \frac{L^{ \prime}L^{ \prime 2} }{2} - \frac{LI^{2} }{2} = \frac{L^{ \prime 2}I^{ \prime 2} }{2L^{ \prime} } - \frac{L^{2}I^{2} }{2L} = \frac{ \Phi^{2} }{2L} \left ( \frac{L}{L^{ \prime} } - 1 \right ) = \frac{ \Phi^{2} }{2L} \left ( \frac{l + \Delta l}{l} - 1 \right ) = \frac{ \Phi^{2} }{2L} \frac{ \Delta l}{l} = \frac{LI_{a}^{2} }{2} \frac{ \Delta l}{l}$,
где штрихи проставлены у величин, относящихся к состоянию системы после растягивания катушки, $I_{a}$ - амплитудное значение силы тока (в момент растягивания ток максимален).
Катушку сжимают, когда максимален заряд на конденсаторе и, следовательно, ток в цепи равен нулю. Поэтому при сжатии никакой работы не совершается.
При малом затухании убыль энергии за счет выделения тепла на сопротивлении мала по сравнению с полной энергией системы, поэтому можно считать, что за период амплитуда колебаний изменяется мало, ток почти синусоидален. Тогда можно получить следующую оценку для потерь энергии за половину периода:
$\Delta W_{-} = I_{д}^{2}R \frac{T}{2} = \frac{1}{2} I_{a}^{2} R \pi \sqrt{LC}$,
где $I_{д}$ - действующее значение тока.
Колебания будут незатухающими, если $\Delta W_{+} \geq \Delta W_{-}$, то есть
$\frac{LI_{a}^{2} }{2} \frac{ \Delta l}{l} \geq \frac{1}{2} I_{a}^{2} R \pi \sqrt{LC}$,
откуда
$\frac{ \Delta l}{l} \geq \pi R \sqrt{ \frac{C}{L} }$.
В колебательном $RLC$ контуре сопротивление невелико, так что колебания затухают в нем слабо. Для получения незатухающих колебаний поступают следующим образом: дважды за период в моменты, когда ток в цепи максимален, катушку индуктивности быстро растягивают от длины $l$ до длины $l + \Delta l$, а в моменты, когда максимален заряд на конденсаторе, катушку быстро сжимают до прежнего размера (параметрический резонанс). При каком относительном изменении длины катушки $\Delta l /l$ колебания в контуре будут незатухающими? Индуктивность катушки считать пропорциональной ее длине.
Решение:
При растягивании катушки совершается работа против сил притяжения ее витков. Эта работа идет на увеличение энергии колебательной системы и должна быть не меньше убыли энергии из-за джоулевых потерь на сопротивлении.
По закону индукции Фарадея $\mathcal{E}_{инд} = - \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t}$ и $I_{инд} = - \frac{1}{R} \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t}$. При быстром растягивании катушки $\Delta t \rightarrow 0$, а поскольку ток не может достигать бесконечно больших значений, то в этом случае и $\Delta \Phi \rightarrow 0$, то есть в этом процессе сохраняется магнитный поток $\Phi$.
Работа, совершаемая при растягивании, идет только на увеличение энергии магнитного поля:
$\Delta A = \Delta W_{+} = \frac{L^{ \prime}L^{ \prime 2} }{2} - \frac{LI^{2} }{2} = \frac{L^{ \prime 2}I^{ \prime 2} }{2L^{ \prime} } - \frac{L^{2}I^{2} }{2L} = \frac{ \Phi^{2} }{2L} \left ( \frac{L}{L^{ \prime} } - 1 \right ) = \frac{ \Phi^{2} }{2L} \left ( \frac{l + \Delta l}{l} - 1 \right ) = \frac{ \Phi^{2} }{2L} \frac{ \Delta l}{l} = \frac{LI_{a}^{2} }{2} \frac{ \Delta l}{l}$,
где штрихи проставлены у величин, относящихся к состоянию системы после растягивания катушки, $I_{a}$ - амплитудное значение силы тока (в момент растягивания ток максимален).
Катушку сжимают, когда максимален заряд на конденсаторе и, следовательно, ток в цепи равен нулю. Поэтому при сжатии никакой работы не совершается.
При малом затухании убыль энергии за счет выделения тепла на сопротивлении мала по сравнению с полной энергией системы, поэтому можно считать, что за период амплитуда колебаний изменяется мало, ток почти синусоидален. Тогда можно получить следующую оценку для потерь энергии за половину периода:
$\Delta W_{-} = I_{д}^{2}R \frac{T}{2} = \frac{1}{2} I_{a}^{2} R \pi \sqrt{LC}$,
где $I_{д}$ - действующее значение тока.
Колебания будут незатухающими, если $\Delta W_{+} \geq \Delta W_{-}$, то есть
$\frac{LI_{a}^{2} }{2} \frac{ \Delta l}{l} \geq \frac{1}{2} I_{a}^{2} R \pi \sqrt{LC}$,
откуда
$\frac{ \Delta l}{l} \geq \pi R \sqrt{ \frac{C}{L} }$.
