Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12352
2019-12-31 
В конической непроводящей лунке с углом $2 \alpha$ при вершине на глубине h находятся два небольших одинаково заряженных тела, связанных нитью (рис.): масса каждого тела $m$. После пережигания нити тела начинают скользить вверх по поверхности лунки и вылетают из лунки на высоте $H$ над ее основанием со скоростью $v$. Коэффициент трения тел о поверхность лунки $\mu = a tg \alpha$ ($a < 1$). Определить заряды тел.
Решение:
В начальный момент времени (в момент пережигания нити) всю энергию системы составляет электрическая энергия тел:
$W_{1} = E_{1} = k \frac{Q^{2} }{2(H - h)tg \alpha }$
(потенциальную энергию на глубине $h$ принимаем равной нулю). В момент вылета тел из лунки энергия системы складывается из электрической энергии $E_{2} = k \frac{Q^{2} }{2H tg \alpha}$, кинетической энергии тел $K = mv^{2}$ и их потенциальной энергии $\Pi = 2mgh$:
$W_{2} = E_{2} + K + \Pi$.
Согласно закону сохранения энергии, $W_{2} = W_{2} + A$, или
$E_{1} = E_{2} + K + \Pi + A \Rightarrow E_{1} - E_{2} = K + \Pi + A$,
где $A$ - энергия, потраченная на преодоление сил трения. Найдем эту энергию.
Рассмотрим движение тела на малом участке $\Delta s$ поверхности лунки таком, что силу электростатического отталкивания $f$, на этом участке можно считать постоянной. Сила трения $f_{тр}$, действующая на тело, на этом участке постоянна и равна (рис.)
$f_{тр} = \mu N = \mu (f_{э} \cos \alpha + mg \sin \alpha)$.
Работа силы трения на участке $\Delta s$ численно равна
$\Delta = f_{тр} \Delta s = f_{э} \cos \alpha \Delta s + \mu mg \sin \alpha \Delta s = \mu ctg \alpha f_{э} ( \sin \alpha \Delta s) + \mu tg \alpha mg ( \cos \alpha \Delta s) = \mu ctg \alpha (f_{э} \Delta x ) + \mu tg \alpha (mg \Delta h)$
(см. рис.). Ho $f_{э} \Delta x$ - это изменение электрической энергии тела, а $mg \Delta h$ - изменение его потенциальной энергии. Таким образом, полная работа сил трения при движении тел равна по абсолютной величине
$A = \mu ctg \alpha (E_{1} - E_{2}) + \mu tg \alpha \Pi$.
Итак, согласно закону сохранения энергии,
$E_{1} - E_{2} = K + \Pi + \mu ctg \alpha (E_{1} - E_{2}) + \mu tg \alpha \Pi$.
Подставляя выражения для $E_{1}, E_{2}, K, \Pi$ и $\mu = a tg \alpha$, получаем
$\frac{kQ^{2}}{2(H - h) tg \alpha} - \frac{kQ^{2} }{2H tg \alpha} = mv^{2} + 2mgh + a \left ( \frac{kQ^{2} }{2(H - h) tg \alpha} - \frac{kQ^{2} }{2H tg \alpha} \right ) + 2a tg^{2} \alpha mgh$.
Отсюда находим заряд $Q$:
$Q = \sqrt{ \frac{2mH(H -h) tg \alpha (v^{2} + 2gh (1 + a tg^{2} \alpha ) ) }{kh(1 - a)} }$.
В конической непроводящей лунке с углом $2 \alpha$ при вершине на глубине h находятся два небольших одинаково заряженных тела, связанных нитью (рис.): масса каждого тела $m$. После пережигания нити тела начинают скользить вверх по поверхности лунки и вылетают из лунки на высоте $H$ над ее основанием со скоростью $v$. Коэффициент трения тел о поверхность лунки $\mu = a tg \alpha$ ($a < 1$). Определить заряды тел.
Решение:
В начальный момент времени (в момент пережигания нити) всю энергию системы составляет электрическая энергия тел:
$W_{1} = E_{1} = k \frac{Q^{2} }{2(H - h)tg \alpha }$
(потенциальную энергию на глубине $h$ принимаем равной нулю). В момент вылета тел из лунки энергия системы складывается из электрической энергии $E_{2} = k \frac{Q^{2} }{2H tg \alpha}$, кинетической энергии тел $K = mv^{2}$ и их потенциальной энергии $\Pi = 2mgh$:
$W_{2} = E_{2} + K + \Pi$.
Согласно закону сохранения энергии, $W_{2} = W_{2} + A$, или
$E_{1} = E_{2} + K + \Pi + A \Rightarrow E_{1} - E_{2} = K + \Pi + A$,
где $A$ - энергия, потраченная на преодоление сил трения. Найдем эту энергию.
Рассмотрим движение тела на малом участке $\Delta s$ поверхности лунки таком, что силу электростатического отталкивания $f$, на этом участке можно считать постоянной. Сила трения $f_{тр}$, действующая на тело, на этом участке постоянна и равна (рис.)
$f_{тр} = \mu N = \mu (f_{э} \cos \alpha + mg \sin \alpha)$.
Работа силы трения на участке $\Delta s$ численно равна
$\Delta = f_{тр} \Delta s = f_{э} \cos \alpha \Delta s + \mu mg \sin \alpha \Delta s = \mu ctg \alpha f_{э} ( \sin \alpha \Delta s) + \mu tg \alpha mg ( \cos \alpha \Delta s) = \mu ctg \alpha (f_{э} \Delta x ) + \mu tg \alpha (mg \Delta h)$
(см. рис.). Ho $f_{э} \Delta x$ - это изменение электрической энергии тела, а $mg \Delta h$ - изменение его потенциальной энергии. Таким образом, полная работа сил трения при движении тел равна по абсолютной величине
$A = \mu ctg \alpha (E_{1} - E_{2}) + \mu tg \alpha \Pi$.
Итак, согласно закону сохранения энергии,
$E_{1} - E_{2} = K + \Pi + \mu ctg \alpha (E_{1} - E_{2}) + \mu tg \alpha \Pi$.
Подставляя выражения для $E_{1}, E_{2}, K, \Pi$ и $\mu = a tg \alpha$, получаем
$\frac{kQ^{2}}{2(H - h) tg \alpha} - \frac{kQ^{2} }{2H tg \alpha} = mv^{2} + 2mgh + a \left ( \frac{kQ^{2} }{2(H - h) tg \alpha} - \frac{kQ^{2} }{2H tg \alpha} \right ) + 2a tg^{2} \alpha mgh$.
Отсюда находим заряд $Q$:
$Q = \sqrt{ \frac{2mH(H -h) tg \alpha (v^{2} + 2gh (1 + a tg^{2} \alpha ) ) }{kh(1 - a)} }$.
