Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1235
2016-10-20 
Пирамида $SABCD$ высотой $H$ (см. рисунок) равномерно заряжена по объёму. Потенциал в точке $S$ равен $\phi_{0}$. От этой пирамиды плоскостью, параллельной основанию, отрезают пирамиду $SA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$ высотой $h$ и удаляют её на бесконечность. Найдите потенциал $\phi$ в той точке, где находилась вершина $S$ исходной пирамиды.
Решение:
Пусть $V, V^{ \prime}, Q, Q^{ \prime}$ — объёмы и заряды пирамид $SABCD$ и $SA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$ соответственно. Так как пирамиды подобны и их заряд пропорционален объёму, а объём — кубу высоты, то $V/V^{ \prime} = Q/Q^{ \prime} = H^{3}/h^{3}$. До того, как часть исходной пирамиды отрезали, потенциал $\phi_{0}$ в точке $S$ складывался из потенциала $\phi^{ \prime}$ пирамиды $SA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$ и потенциала $\phi^{ \prime \prime}$ оставшейся части $ABCDA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$, то есть $\phi_{0} = \phi^{ \prime} + \phi^{ \prime \prime}$. Потенциал, создаваемый в точке $S$ каждой из пирамид, прямо пропорционален их заряду и обратно пропорционален их характерному линейному размеру. Поэтому $\frac{ \phi_{0}}{ \phi^{ \prime}} = \frac{Q/H}{Q^{ \prime}/h} = \frac{H^{2}}{h^{2}}$. Из двух последних уравнении получаем:
$\phi^{ \prime \prime} = \phi_{0} - \phi^{ \prime} = \left ( 1 - \frac{h^{2}}{H^{2}} \right ) \phi_{0}$
Пирамида $SABCD$ высотой $H$ (см. рисунок) равномерно заряжена по объёму. Потенциал в точке $S$ равен $\phi_{0}$. От этой пирамиды плоскостью, параллельной основанию, отрезают пирамиду $SA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$ высотой $h$ и удаляют её на бесконечность. Найдите потенциал $\phi$ в той точке, где находилась вершина $S$ исходной пирамиды.
Решение:
Пусть $V, V^{ \prime}, Q, Q^{ \prime}$ — объёмы и заряды пирамид $SABCD$ и $SA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$ соответственно. Так как пирамиды подобны и их заряд пропорционален объёму, а объём — кубу высоты, то $V/V^{ \prime} = Q/Q^{ \prime} = H^{3}/h^{3}$. До того, как часть исходной пирамиды отрезали, потенциал $\phi_{0}$ в точке $S$ складывался из потенциала $\phi^{ \prime}$ пирамиды $SA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$ и потенциала $\phi^{ \prime \prime}$ оставшейся части $ABCDA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$, то есть $\phi_{0} = \phi^{ \prime} + \phi^{ \prime \prime}$. Потенциал, создаваемый в точке $S$ каждой из пирамид, прямо пропорционален их заряду и обратно пропорционален их характерному линейному размеру. Поэтому $\frac{ \phi_{0}}{ \phi^{ \prime}} = \frac{Q/H}{Q^{ \prime}/h} = \frac{H^{2}}{h^{2}}$. Из двух последних уравнении получаем:
$\phi^{ \prime \prime} = \phi_{0} - \phi^{ \prime} = \left ( 1 - \frac{h^{2}}{H^{2}} \right ) \phi_{0}$
