Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12347
2019-12-31 
По горизонтальной непроводящей плоскости без проскальзывания катится равномерно заряженное кольцо массы $m$. После включения горизонтального магнитного поля с индукцией $\vec{B}$, перпендикулярной плоскости кольца, сила давления кольца на плоскость уменьшилась вдвое. С какой скоростью катилось кольцо, если его заряд равен $q$?
Решение:
Изменение силы давления кольца на плоскость обусловлено действием на кольцо некоторой силы со стороны магнитного поля. Найдем эту силу.
Рассмотрим два малых диаметрально противоположных участка кольца вблизи точек А и С (см. рисунок). Поскольку точка О - мгновенный центр вращения кольца, мгновенные скорости точек А и С равны, соответственно.
$v_{A} = \frac{v}{R} |OA| = \frac{v}{R} 2R \cos \frac{ \alpha}{2} = 2v \cos \frac{ \alpha}{2}$,
$v_{C} = \frac{v}{R} |OC| = 2v \sin \frac{ \alpha}{2}$,
где $R$ - радиус кольца. Векторы $\vec{v}_{A}$ и $\vec{v}_{C}$ перпендикулярны, соответственно, отрезкам ОA и ОС. Пусть заряд каждого участка равен $\Delta q$. Поскольку участки малы, эти заряды можно считать точечными, Силы Лоренца, действующие со стороны магнитного поля на каждый заряд, равны
$F_{A} = \Delta q B2v \cos \frac{ \alpha}{2}$,
$F_{C} = \Delta q B2v \sin \frac{ \alpha}{2} $.
Векторы $\vec{F}_{A}$ и $\vec{F}_{C}$ направлены вдоль отрезков ОA и ОС и составляют с горизонталью углы, равные, соответственно.
$\beta = \frac{ \alpha}{2} + \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right ) = \frac{ \pi}{2} - \frac{ \alpha}{2}$,
$\gamma = \frac{ \pi}{2} - \left ( \frac{ \pi - \alpha}{2} \right ) = \frac{ \alpha}{2}$.
В проекции на горизонталь результирующая сила, действующая на оба участка, равна
$f_{x} = \Delta q 2Bv \left ( \cos \frac{ \alpha}{2} \sin \frac{ \alpha}{2} - \sin \frac{ \alpha}{2} \cos \frac{ \alpha}{2} \right ) = 0$,
а в проекции на вертикаль
$f_{y} = \Delta q \cdot 2Bv \left ( \cos^{2} \frac{ \alpha}{2} + \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} \right ) = \Delta q \cdot 2Bv$.
Рассматривая аналогично каждую пару диаметрально противоположных участков, найдем, что горизонтальная проекция силы, действующей на кольцо со стороны магнитного поля, равна нулю, а вертикальная проекция равна
$F_{y} = \sum_{i} F_{iy} = 2vB \sum_{i} \Delta q_{i}$,
где $\sum{i} \Delta q_{i}$ - сумма зарядов всех элементарных участков, составляющих половину кольца, то есть $\sum_{i} \Delta q_{i} = \frac{q}{2}$. Таким образом.
$F_{y} = qvB$.
Запишем условно равновесия кольца в проекции на вертикаль:
$mg = N + qvB$.
По условию задачи $N = \frac{mg}{2}$ и, следовательно,
$qvB = \frac{mg}{2}$.
Отсюда
$v = \frac{mg}{2qB}$.
По горизонтальной непроводящей плоскости без проскальзывания катится равномерно заряженное кольцо массы $m$. После включения горизонтального магнитного поля с индукцией $\vec{B}$, перпендикулярной плоскости кольца, сила давления кольца на плоскость уменьшилась вдвое. С какой скоростью катилось кольцо, если его заряд равен $q$?
Решение:
Изменение силы давления кольца на плоскость обусловлено действием на кольцо некоторой силы со стороны магнитного поля. Найдем эту силу.
Рассмотрим два малых диаметрально противоположных участка кольца вблизи точек А и С (см. рисунок). Поскольку точка О - мгновенный центр вращения кольца, мгновенные скорости точек А и С равны, соответственно.
$v_{A} = \frac{v}{R} |OA| = \frac{v}{R} 2R \cos \frac{ \alpha}{2} = 2v \cos \frac{ \alpha}{2}$,
$v_{C} = \frac{v}{R} |OC| = 2v \sin \frac{ \alpha}{2}$,
где $R$ - радиус кольца. Векторы $\vec{v}_{A}$ и $\vec{v}_{C}$ перпендикулярны, соответственно, отрезкам ОA и ОС. Пусть заряд каждого участка равен $\Delta q$. Поскольку участки малы, эти заряды можно считать точечными, Силы Лоренца, действующие со стороны магнитного поля на каждый заряд, равны
$F_{A} = \Delta q B2v \cos \frac{ \alpha}{2}$,
$F_{C} = \Delta q B2v \sin \frac{ \alpha}{2} $.
Векторы $\vec{F}_{A}$ и $\vec{F}_{C}$ направлены вдоль отрезков ОA и ОС и составляют с горизонталью углы, равные, соответственно.
$\beta = \frac{ \alpha}{2} + \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right ) = \frac{ \pi}{2} - \frac{ \alpha}{2}$,
$\gamma = \frac{ \pi}{2} - \left ( \frac{ \pi - \alpha}{2} \right ) = \frac{ \alpha}{2}$.
В проекции на горизонталь результирующая сила, действующая на оба участка, равна
$f_{x} = \Delta q 2Bv \left ( \cos \frac{ \alpha}{2} \sin \frac{ \alpha}{2} - \sin \frac{ \alpha}{2} \cos \frac{ \alpha}{2} \right ) = 0$,
а в проекции на вертикаль
$f_{y} = \Delta q \cdot 2Bv \left ( \cos^{2} \frac{ \alpha}{2} + \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} \right ) = \Delta q \cdot 2Bv$.
Рассматривая аналогично каждую пару диаметрально противоположных участков, найдем, что горизонтальная проекция силы, действующей на кольцо со стороны магнитного поля, равна нулю, а вертикальная проекция равна
$F_{y} = \sum_{i} F_{iy} = 2vB \sum_{i} \Delta q_{i}$,
где $\sum{i} \Delta q_{i}$ - сумма зарядов всех элементарных участков, составляющих половину кольца, то есть $\sum_{i} \Delta q_{i} = \frac{q}{2}$. Таким образом.
$F_{y} = qvB$.
Запишем условно равновесия кольца в проекции на вертикаль:
$mg = N + qvB$.
По условию задачи $N = \frac{mg}{2}$ и, следовательно,
$qvB = \frac{mg}{2}$.
Отсюда
$v = \frac{mg}{2qB}$.
