Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12345
2019-12-31 
Сухой термометр находящегося в комнате психрометра показывает температуру $t_{1} = 18^{ \circ} С$, а влажный - $t_{2} = t - \Delta t = 15^{ \circ} С$. Не пользуясь таблицей, определите относительную влажность воздуха в комнате. Давление насыщенного водяного пара при указанных температурах равно, соответственно, $p_{1} = 15,5$ мм рт. ст. и $p_{2} = 12,8$ мм рт. ст. Молярная теплота испарения воды - $L = 4,07 \cdot 10^{4} Дж/моль$; теплоемкость воздуха равна $c = 20,8 Дж/(моль \cdot град)$ (при постоянном объеме).
Решение:
Обозначим парциальное давление паров в комнате $p_{п}$; тогда искомая относительная влажность -
$\phi = \frac{p_{п} }{p_{1} } 100$%.
Для нахождения $p_{п}$ воспользуемся законом сохранении энергии.
Выделим мысленно в комнате объем $V_{1}$, содержащий заданную массу сухого воздуха $M$ и некоторое количество пара $m_{1}$, и переместим его к влажному термометру. Там объем, содержащий столько же сухого воздуха, обозначим $V_{2}$, а количество пара в этом объеме - $m_{2}$. Плотность воздуха в комнате практически повсюду одна и та же, так что такое перемещение не требует совершения работы какими-либо силами, кроме сил давления воздуха, а их работу мы учтем.
Работа сил давления -
$A = p(V_{1} - V_{2})$.
Воздух охлаждается от температуры $T_{1}$ до температуры $T_{2}$, и его внутренняя энергия уменьшается на
$\Delta U = c \nu \Delta T = c \frac{M}{ \mu_{в}} \Delta T$.
Уменьшением внутренней энергии пара при охлаждении явно можно пренебречь по сравнению с этой величиной, так как при этих температурах пара в воздухе мало ($p_{п} \ll p$).
При испарении "недостающей" воды поглощается тепло
$\Delta Q = L \frac{m_{2} - m{1} }{ \mu_{п} }$.
Запишем баланс энергии:
$p(V_{1} - V_{2} ) + c \frac{M}{ \mu_{в} } \Delta T = L \frac{m_{2} - m_{1} }{ \mu_{п} }$. (*)
Воспользовавшись уравнением Менделеева - Клапейрона, найдем:
$V_{1} = \frac{MRT_{1} }{(p - p_{в} ) \mu_{в} } + \frac{m_{1}RT_{1} }{p_{п} \mu_{п} }, m_{1} = M \frac{ p_{п} }{p} \frac{ \mu_{п} }{ \mu_{в} }$,
$V_{2} = \frac{MR(T_{1} - \Delta T) }{(p - p_{2} ) \mu_{в} } + \frac{m_{2}R(T_{1} - \Delta T) }{p_{2} \mu_{п} }, m_{2} = M \frac{ p_{2} }{p} \frac{ \mu_{п} }{ \mu_{в} }$,
Учитывая эти соотношении и пренебрегая при вычислениях малым членом порядка $\frac{ \Delta T}{T} \frac{p_{2} }{p}$, получим:
$V_{1} - V_{2} = \frac{MR}{p \mu_{в} } \left ( \frac{T_{1} }{p} ( p_{п} - p_{2} ) + \Delta T \right )$.
Подставив это выражение в (*) с учетом того, что $\mu_{п} = \frac{m_{2} }{Mp_{2} } p \mu_{в}$, после упрощении получим:
$p_{п} = p_{2} - p \Delta T \frac{R + c}{RT_{1} + L }$.
Таким образом, относительная влажность воздуха равна
$\phi = \frac{p_{н} }{p_{1} } 100$ % $= \left ( \frac{p_{2} }{p_{1} } - \frac{p \Delta T}{p} \frac{R + c}{RT_{1} + L } \right ) 100$%
Подставляя числовые данные, находим:
$\phi = 73$%.
Сухой термометр находящегося в комнате психрометра показывает температуру $t_{1} = 18^{ \circ} С$, а влажный - $t_{2} = t - \Delta t = 15^{ \circ} С$. Не пользуясь таблицей, определите относительную влажность воздуха в комнате. Давление насыщенного водяного пара при указанных температурах равно, соответственно, $p_{1} = 15,5$ мм рт. ст. и $p_{2} = 12,8$ мм рт. ст. Молярная теплота испарения воды - $L = 4,07 \cdot 10^{4} Дж/моль$; теплоемкость воздуха равна $c = 20,8 Дж/(моль \cdot град)$ (при постоянном объеме).
Решение:
Обозначим парциальное давление паров в комнате $p_{п}$; тогда искомая относительная влажность -
$\phi = \frac{p_{п} }{p_{1} } 100$%.
Для нахождения $p_{п}$ воспользуемся законом сохранении энергии.
Выделим мысленно в комнате объем $V_{1}$, содержащий заданную массу сухого воздуха $M$ и некоторое количество пара $m_{1}$, и переместим его к влажному термометру. Там объем, содержащий столько же сухого воздуха, обозначим $V_{2}$, а количество пара в этом объеме - $m_{2}$. Плотность воздуха в комнате практически повсюду одна и та же, так что такое перемещение не требует совершения работы какими-либо силами, кроме сил давления воздуха, а их работу мы учтем.
Работа сил давления -
$A = p(V_{1} - V_{2})$.
Воздух охлаждается от температуры $T_{1}$ до температуры $T_{2}$, и его внутренняя энергия уменьшается на
$\Delta U = c \nu \Delta T = c \frac{M}{ \mu_{в}} \Delta T$.
Уменьшением внутренней энергии пара при охлаждении явно можно пренебречь по сравнению с этой величиной, так как при этих температурах пара в воздухе мало ($p_{п} \ll p$).
При испарении "недостающей" воды поглощается тепло
$\Delta Q = L \frac{m_{2} - m{1} }{ \mu_{п} }$.
Запишем баланс энергии:
$p(V_{1} - V_{2} ) + c \frac{M}{ \mu_{в} } \Delta T = L \frac{m_{2} - m_{1} }{ \mu_{п} }$. (*)
Воспользовавшись уравнением Менделеева - Клапейрона, найдем:
$V_{1} = \frac{MRT_{1} }{(p - p_{в} ) \mu_{в} } + \frac{m_{1}RT_{1} }{p_{п} \mu_{п} }, m_{1} = M \frac{ p_{п} }{p} \frac{ \mu_{п} }{ \mu_{в} }$,
$V_{2} = \frac{MR(T_{1} - \Delta T) }{(p - p_{2} ) \mu_{в} } + \frac{m_{2}R(T_{1} - \Delta T) }{p_{2} \mu_{п} }, m_{2} = M \frac{ p_{2} }{p} \frac{ \mu_{п} }{ \mu_{в} }$,
Учитывая эти соотношении и пренебрегая при вычислениях малым членом порядка $\frac{ \Delta T}{T} \frac{p_{2} }{p}$, получим:
$V_{1} - V_{2} = \frac{MR}{p \mu_{в} } \left ( \frac{T_{1} }{p} ( p_{п} - p_{2} ) + \Delta T \right )$.
Подставив это выражение в (*) с учетом того, что $\mu_{п} = \frac{m_{2} }{Mp_{2} } p \mu_{в}$, после упрощении получим:
$p_{п} = p_{2} - p \Delta T \frac{R + c}{RT_{1} + L }$.
Таким образом, относительная влажность воздуха равна
$\phi = \frac{p_{н} }{p_{1} } 100$ % $= \left ( \frac{p_{2} }{p_{1} } - \frac{p \Delta T}{p} \frac{R + c}{RT_{1} + L } \right ) 100$%
Подставляя числовые данные, находим:
$\phi = 73$%.
