Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12344
2019-12-31 
По гладкому горизонтальному круговому желобу длины $l$ катается шарик. Скорость шарика известна с точностью $\epsilon = 3-5$%. При каких значениях $v$ можно точно утверждать, что через время $\tau$ после того, как шарик находился в точке А (см. рисунок), его нет в точке В?
Решение:
Так как скорость шарика известна с точностью $\epsilon$, то для любого момента времени можно указать не точку, а некоторым участок на окружности, внутри которого находится шарик. Передний граница этого участка движется со скоростью $v + \epsilon v = v(1 + \epsilon )$, а задняя - со скоростью $v(1 - \epsilon)$. Спустя время $\tau$ после того, как шарик был в точке А, длина участка будет $2v \epsilon \tau$. Тот факт, что шарика в данным момент нет в точке В, означает, что точка В не попадает внутрь этого участка, то есть (см рисунок)
$2 v \epsilon \tau - \frac{3l}{4} < v(1 + \epsilon) \tau - nl < \frac{l}{4}$,
где $n$ - число полных оборотов шарика по окружности за время $\tau$. Отсюда находим
$\frac{l \left ( n - \frac{3}{4} \right ) }{ (1 - \epsilon ) \tau } < v < \frac{l \left ( n + \frac{1}{4} \right ) }{(1 + \epsilon) \tau }$.
Однако это не окончательный ответ. Участок, где может находиться шарик, "расползается" со скоростью $2 \epsilon v$. Поэтому через время $t = l/2 \epsilon v$ (когда участком будет вся окружность) положение шарика определить невозможно. За это время шарик сделает $n = \frac{vl}{l} = \frac{1}{2} \epsilon$ полных оборотов. Так что задача имеет смысл при $n < \frac{1}{2 \epsilon} = \frac{1}{2 (1/20) } = 10$.
Ответ: $\frac{l \left ( n - \frac{3}{4} \right ) }{ (1 - \epsilon ) \tau } < v < \frac{l \left ( n + \frac{1}{4} \right ) }{(1 + \epsilon) \tau }$, где $n = 1,2, \cdots ,9$.
По гладкому горизонтальному круговому желобу длины $l$ катается шарик. Скорость шарика известна с точностью $\epsilon = 3-5$%. При каких значениях $v$ можно точно утверждать, что через время $\tau$ после того, как шарик находился в точке А (см. рисунок), его нет в точке В?
Решение:
Так как скорость шарика известна с точностью $\epsilon$, то для любого момента времени можно указать не точку, а некоторым участок на окружности, внутри которого находится шарик. Передний граница этого участка движется со скоростью $v + \epsilon v = v(1 + \epsilon )$, а задняя - со скоростью $v(1 - \epsilon)$. Спустя время $\tau$ после того, как шарик был в точке А, длина участка будет $2v \epsilon \tau$. Тот факт, что шарика в данным момент нет в точке В, означает, что точка В не попадает внутрь этого участка, то есть (см рисунок)
$2 v \epsilon \tau - \frac{3l}{4} < v(1 + \epsilon) \tau - nl < \frac{l}{4}$,
где $n$ - число полных оборотов шарика по окружности за время $\tau$. Отсюда находим
$\frac{l \left ( n - \frac{3}{4} \right ) }{ (1 - \epsilon ) \tau } < v < \frac{l \left ( n + \frac{1}{4} \right ) }{(1 + \epsilon) \tau }$.
Однако это не окончательный ответ. Участок, где может находиться шарик, "расползается" со скоростью $2 \epsilon v$. Поэтому через время $t = l/2 \epsilon v$ (когда участком будет вся окружность) положение шарика определить невозможно. За это время шарик сделает $n = \frac{vl}{l} = \frac{1}{2} \epsilon$ полных оборотов. Так что задача имеет смысл при $n < \frac{1}{2 \epsilon} = \frac{1}{2 (1/20) } = 10$.
Ответ: $\frac{l \left ( n - \frac{3}{4} \right ) }{ (1 - \epsilon ) \tau } < v < \frac{l \left ( n + \frac{1}{4} \right ) }{(1 + \epsilon) \tau }$, где $n = 1,2, \cdots ,9$.
