Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12343
2019-12-31 
В объемный пучок положительных ионов, имеющий круглое сечение, в точке А влетает электрон, скорость которого параллельно оси симметрии пучка (рис.). Объемная плотность зарядов в пучке равна $\rho$, длина пучка $l$ (длина пучка много больше его радиуса). При каких значениях скорости электрона он вылетит из пучка в точке В? Столкновении электрона с ионами не учитывать.
Решение:
На электрон, летящий в пучке, действует электрическое поле, создаваемое ионами. Найдем, как зависит напряженность этого поля от расстояния до оси пучка.
Напряженность $\vec{E}(r)$ в точках, находящихся внутри пучка достаточно далеко от его торцов на расстоянии $r$ от оси ОВ, можно представить как сумму
$\vec{E}(r) = \vec{E}_{1} (r) + \vec{E}_{2}(r)$,
где $\vec{E}_{1}(r)$ - напряженность поля, создаваемого теми зарядами, которые находятся внутри цилиндра радиуса $r$, а $\vec{E}_{2}(r)$ - напряженность поля, создаваемого зарядами, находящимися вне этого цилиндра (см. рис.). Из соображений симметрии ясно, что вектор $\vec{E}_{2}(r)$ должен быть направлен вдоль радиуса пучка. Поскольку силовые линии внутри цилиндрической полости могут начинаться на положительных зарядах, а заканчиваться - на отрицательных, мы приходим к выводу, что $\vec{E}_{2}(r) = \vec{0}$. Более того, заряды, находящиеся вне цилиндра радиуса $r$, во всех точках области внутри цилиндра поля не создают.
Определим теперь напряженность $\vec{E} (r) = \vec{E}_{1} (r)$. Известно, что с точки зрения картины силовых линий напряженность поля определяется как число силовых линий, пронизывающих площадку единичной площади, перпендикулярную линиям. Следовательно, если мы сожмем заряд цилиндра радиуса $r$ равномерно к оси цилиндра, то поля, создаваемые прежним распределением зарядов и новым "сжатым" распределением, вне цилиндра будут совпадать. Поэтому величину $\vec{E}_{1} (r)$ определим как напряженность поля бесконечной заряженной прямой на расстоянии $r$ от нее.
Рассчитаем, какой должна быть линейная плотность зарядов на прямой. Заряд, находящийся после сжатии на отрезке длины $\Delta l$, равен $\sigma \Delta l$, где $\sigma$ - линейная плотность заряда на прямой. Этот заряд должен равняться тому заряду, который находился внутри цилиндра радиуса $r$ и высоты $\Delta l$, то есть
$\sigma \Delta l = \rho \Delta l \pi r^{2}$.
Отсюда получаем:
$\sigma = \rho \pi r^{2}$.
Найдем теперь напряженность поля, создаваемого бесконечной заряженной примой с плотностью заряда $\sigma$. Выделим на прямой малый участок длины $dx$. Заряд этого участка равен $\sigma dx$. Напряженность поля, создаваемого этим участком в точке М, находящейся на расстоянии $r$ от прямой, равна (рис.)
$\Delta E = | \Delta \vec{E} | = \frac{ \sigma dx}{4 \pi \epsilon_{0} (x^{2} + r^{2} ) }$.
Из соображений симметрии ясно, что вектор $\vec{E}(r)$ должен быть в любой точке перпендикулярен прямой. Следовательно, вклад, который вносят в поле в точке M участок $dx$, равен
$dE = \Delta E \cdot \cos \phi = \frac{ \rho \pi r^{2} dx }{4 \pi \epsilon_{0} (x^{2} + r^{2} ) } \frac{r}{ \sqrt{x^{2} + r^{2} } } = \frac{ \rho r^{3} }{4 \epsilon_{0} (x^{2} + r^{2} )^{3/2} } dx$.
Полная напряженность поля в точке М представляет собой сумму таких вкладов, вносимых всеми участками прямой, то есть
$E(r) = \int_{- \infty}^{ \infty} dE = 2 \int_{0}^{ \infty} \frac{ \rho r^{3} dx }{4 \epsilon_{0} (x^{2} + r^{2} )^{3/2} } = \frac{ \rho r}{2 \epsilon_{0} }$.
Такова напряженность поля на расстоянии $r$ от оси пучка в тех его точках, которые достаточно далеки от торцов пучка. Вблизи торцов поле "искажено". Учет этих искажений (краевых эффектов) достаточно сложен. Мы упростим задачу: будем считать, что точки А и В лежат внутри бесконечно длинного пучка ионов на расстоянии $l$ (вдоль оси пучка) друг от друга.
Рассмотрим движение электрона внутри бесконечно длинного пучка ионов. Сила, действующая на электрон, когда он находится на расстоянии $r$ от оси пучка, равна
$F = \frac{e \rho}{2 \epsilon_{0} } r = - \frac{|e| \rho}{2 \epsilon_{0} } r$
и направлена перпендикулярно оси пучка. Ускорение электрона в этом направления -
$a = \frac{F}{m}$, или $r^{ \prime \prime} = - \frac{|e| \rho}{2 \epsilon_{0}m } r$.
Из этого уравнения следует, что движение электрона в проекции на плоскость, перпендикулярную оси пучка, представляет собой гармонические колебания с периодом
$T = \frac{2 \pi }{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{2 \epsilon_{0}m }{|e| \rho} }$.
В направлении оси пучка скорость электрона остается постоянной и равной той скорости, которую он имел в точке А.
На рисунке приведено несколько возможных траекторий электрона, вылетающего из пучка в точке В. Очевидно, что время движения электрона в пучке при этом определяется условиями
$t_{1} = \frac{T}{4}, t_{2} = \frac{T}{4} + \frac{T}{2} = \frac{3T}{4}, t_{3} = \frac{3T}{4} + \frac{T}{2} = \frac{5T}{4}$ и т.д.,
или, в общем виде,
$t_{n} = (2n- 1) \frac{T}{4}$ ($n \in N$)
С другой стороны, $t_{n} = l/v_{n}$. Так что возможные значения скорости электрона определяются условием
$v_{n} = \frac{l}{l_{n}} = \frac{4l}{(2n - 1)T} = \frac{4l \sqrt{|e| \rho} }{(2n - 1)2 \pi \sqrt{2 \epsilon_{0}m } } = \frac{2l}{ \pi (2n - 1)} \sqrt{ \frac{|e| \rho}{2 \epsilon_{0}m } }$ ($n \in N$).
В объемный пучок положительных ионов, имеющий круглое сечение, в точке А влетает электрон, скорость которого параллельно оси симметрии пучка (рис.). Объемная плотность зарядов в пучке равна $\rho$, длина пучка $l$ (длина пучка много больше его радиуса). При каких значениях скорости электрона он вылетит из пучка в точке В? Столкновении электрона с ионами не учитывать.
Решение:
На электрон, летящий в пучке, действует электрическое поле, создаваемое ионами. Найдем, как зависит напряженность этого поля от расстояния до оси пучка.
Напряженность $\vec{E}(r)$ в точках, находящихся внутри пучка достаточно далеко от его торцов на расстоянии $r$ от оси ОВ, можно представить как сумму
$\vec{E}(r) = \vec{E}_{1} (r) + \vec{E}_{2}(r)$,
где $\vec{E}_{1}(r)$ - напряженность поля, создаваемого теми зарядами, которые находятся внутри цилиндра радиуса $r$, а $\vec{E}_{2}(r)$ - напряженность поля, создаваемого зарядами, находящимися вне этого цилиндра (см. рис.). Из соображений симметрии ясно, что вектор $\vec{E}_{2}(r)$ должен быть направлен вдоль радиуса пучка. Поскольку силовые линии внутри цилиндрической полости могут начинаться на положительных зарядах, а заканчиваться - на отрицательных, мы приходим к выводу, что $\vec{E}_{2}(r) = \vec{0}$. Более того, заряды, находящиеся вне цилиндра радиуса $r$, во всех точках области внутри цилиндра поля не создают.
Определим теперь напряженность $\vec{E} (r) = \vec{E}_{1} (r)$. Известно, что с точки зрения картины силовых линий напряженность поля определяется как число силовых линий, пронизывающих площадку единичной площади, перпендикулярную линиям. Следовательно, если мы сожмем заряд цилиндра радиуса $r$ равномерно к оси цилиндра, то поля, создаваемые прежним распределением зарядов и новым "сжатым" распределением, вне цилиндра будут совпадать. Поэтому величину $\vec{E}_{1} (r)$ определим как напряженность поля бесконечной заряженной прямой на расстоянии $r$ от нее.
Рассчитаем, какой должна быть линейная плотность зарядов на прямой. Заряд, находящийся после сжатии на отрезке длины $\Delta l$, равен $\sigma \Delta l$, где $\sigma$ - линейная плотность заряда на прямой. Этот заряд должен равняться тому заряду, который находился внутри цилиндра радиуса $r$ и высоты $\Delta l$, то есть
$\sigma \Delta l = \rho \Delta l \pi r^{2}$.
Отсюда получаем:
$\sigma = \rho \pi r^{2}$.
Найдем теперь напряженность поля, создаваемого бесконечной заряженной примой с плотностью заряда $\sigma$. Выделим на прямой малый участок длины $dx$. Заряд этого участка равен $\sigma dx$. Напряженность поля, создаваемого этим участком в точке М, находящейся на расстоянии $r$ от прямой, равна (рис.)
$\Delta E = | \Delta \vec{E} | = \frac{ \sigma dx}{4 \pi \epsilon_{0} (x^{2} + r^{2} ) }$.
Из соображений симметрии ясно, что вектор $\vec{E}(r)$ должен быть в любой точке перпендикулярен прямой. Следовательно, вклад, который вносят в поле в точке M участок $dx$, равен
$dE = \Delta E \cdot \cos \phi = \frac{ \rho \pi r^{2} dx }{4 \pi \epsilon_{0} (x^{2} + r^{2} ) } \frac{r}{ \sqrt{x^{2} + r^{2} } } = \frac{ \rho r^{3} }{4 \epsilon_{0} (x^{2} + r^{2} )^{3/2} } dx$.
Полная напряженность поля в точке М представляет собой сумму таких вкладов, вносимых всеми участками прямой, то есть
$E(r) = \int_{- \infty}^{ \infty} dE = 2 \int_{0}^{ \infty} \frac{ \rho r^{3} dx }{4 \epsilon_{0} (x^{2} + r^{2} )^{3/2} } = \frac{ \rho r}{2 \epsilon_{0} }$.
Такова напряженность поля на расстоянии $r$ от оси пучка в тех его точках, которые достаточно далеки от торцов пучка. Вблизи торцов поле "искажено". Учет этих искажений (краевых эффектов) достаточно сложен. Мы упростим задачу: будем считать, что точки А и В лежат внутри бесконечно длинного пучка ионов на расстоянии $l$ (вдоль оси пучка) друг от друга.
Рассмотрим движение электрона внутри бесконечно длинного пучка ионов. Сила, действующая на электрон, когда он находится на расстоянии $r$ от оси пучка, равна
$F = \frac{e \rho}{2 \epsilon_{0} } r = - \frac{|e| \rho}{2 \epsilon_{0} } r$
и направлена перпендикулярно оси пучка. Ускорение электрона в этом направления -
$a = \frac{F}{m}$, или $r^{ \prime \prime} = - \frac{|e| \rho}{2 \epsilon_{0}m } r$.
Из этого уравнения следует, что движение электрона в проекции на плоскость, перпендикулярную оси пучка, представляет собой гармонические колебания с периодом
$T = \frac{2 \pi }{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{2 \epsilon_{0}m }{|e| \rho} }$.
В направлении оси пучка скорость электрона остается постоянной и равной той скорости, которую он имел в точке А.
На рисунке приведено несколько возможных траекторий электрона, вылетающего из пучка в точке В. Очевидно, что время движения электрона в пучке при этом определяется условиями
$t_{1} = \frac{T}{4}, t_{2} = \frac{T}{4} + \frac{T}{2} = \frac{3T}{4}, t_{3} = \frac{3T}{4} + \frac{T}{2} = \frac{5T}{4}$ и т.д.,
или, в общем виде,
$t_{n} = (2n- 1) \frac{T}{4}$ ($n \in N$)
С другой стороны, $t_{n} = l/v_{n}$. Так что возможные значения скорости электрона определяются условием
$v_{n} = \frac{l}{l_{n}} = \frac{4l}{(2n - 1)T} = \frac{4l \sqrt{|e| \rho} }{(2n - 1)2 \pi \sqrt{2 \epsilon_{0}m } } = \frac{2l}{ \pi (2n - 1)} \sqrt{ \frac{|e| \rho}{2 \epsilon_{0}m } }$ ($n \in N$).
