Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12341
2019-12-31 
В сосуд, наполненный смесью жидкостей, плотность которой изменяется с глубиной по закону $\rho = \rho_{0} + \alpha h$, опускают тело массы $m$ и объема $V$. Тело целиком погружается и жидкость. На какой глубине оно окажется, если имеет форму куба? шара?
Решение:
Пусть в состоянии равновесия центр тяжести куба, погруженного в смесь, находится на глубине $H$. Сила тяжести, действующая на куб, уравновешивается выталкивающей силой, равной численно весу смеси в объеме куба.
Чтобы найти этот вес, разобьем мысленно жидкость в объеме куба на $n$ тонких горизонтальных слоев толщины $\Delta h$ таких, что в пределах каждого слоя плотность жидкости можно считать постоянной (см. рисунок). Тогда вес жидкости в объеме куба равен
$P = gS \Delta h ( \rho_{1} + \rho_{2} + \cdots + \rho_{n} )$
($S$ - площадь грани куба). Поскольку плотность смеси меняется с глубиной по линейному закону, сумма, стоящая в скобках, равна $( \rho_{1} + \rho_{n}) \frac{n}{2}$. Если $\rho_{1}$ - плотность у верхней грани куба, а $\rho_{n}$ - у нижней, то
$\rho_{1} = \rho_{0} + \alpha \left ( H - \frac{a}{2} \right ), \rho_{n} = \rho_{0} + \alpha \left ( H + \frac{a}{2} \right )$.
где $d$ - длина ребра куба. Таким образом,
$P = gS \Delta h n \frac{ \rho_{1} + \rho_{n} }{2} = gSa ( \rho_{0} + \alpha H ) = gV ( \rho_{0} + \alpha H )$.
Теперь из условия равновесия куба -
$mg = gV ( \rho_{0} + \alpha H )$
- найдем глубину его погружения:
$H = \frac{m - \rho_{0}V }{ \alpha V}$.
Аналогичным образом можно найти глубину погружения шара. Сделав это самостоятельно, вы убедитесь, что шар погружается в смесь на ту же глубину, что и куб.
Из приведенного решения понятно, что если тело массы $m$ и объёма $V$ имеет такую форму, что площади его горизонтальных сечений, взятых на одинаковом расстоянии по вертикали от некоторой точки О тела, равны, то при полном погружении тела в смесь точка О будет находится на глубине $H = \frac{m - \rho_{0}V }{ \alpha V}$.
В сосуд, наполненный смесью жидкостей, плотность которой изменяется с глубиной по закону $\rho = \rho_{0} + \alpha h$, опускают тело массы $m$ и объема $V$. Тело целиком погружается и жидкость. На какой глубине оно окажется, если имеет форму куба? шара?
Решение:
Пусть в состоянии равновесия центр тяжести куба, погруженного в смесь, находится на глубине $H$. Сила тяжести, действующая на куб, уравновешивается выталкивающей силой, равной численно весу смеси в объеме куба.
Чтобы найти этот вес, разобьем мысленно жидкость в объеме куба на $n$ тонких горизонтальных слоев толщины $\Delta h$ таких, что в пределах каждого слоя плотность жидкости можно считать постоянной (см. рисунок). Тогда вес жидкости в объеме куба равен
$P = gS \Delta h ( \rho_{1} + \rho_{2} + \cdots + \rho_{n} )$
($S$ - площадь грани куба). Поскольку плотность смеси меняется с глубиной по линейному закону, сумма, стоящая в скобках, равна $( \rho_{1} + \rho_{n}) \frac{n}{2}$. Если $\rho_{1}$ - плотность у верхней грани куба, а $\rho_{n}$ - у нижней, то
$\rho_{1} = \rho_{0} + \alpha \left ( H - \frac{a}{2} \right ), \rho_{n} = \rho_{0} + \alpha \left ( H + \frac{a}{2} \right )$.
где $d$ - длина ребра куба. Таким образом,
$P = gS \Delta h n \frac{ \rho_{1} + \rho_{n} }{2} = gSa ( \rho_{0} + \alpha H ) = gV ( \rho_{0} + \alpha H )$.
Теперь из условия равновесия куба -
$mg = gV ( \rho_{0} + \alpha H )$
- найдем глубину его погружения:
$H = \frac{m - \rho_{0}V }{ \alpha V}$.
Аналогичным образом можно найти глубину погружения шара. Сделав это самостоятельно, вы убедитесь, что шар погружается в смесь на ту же глубину, что и куб.
Из приведенного решения понятно, что если тело массы $m$ и объёма $V$ имеет такую форму, что площади его горизонтальных сечений, взятых на одинаковом расстоянии по вертикали от некоторой точки О тела, равны, то при полном погружении тела в смесь точка О будет находится на глубине $H = \frac{m - \rho_{0}V }{ \alpha V}$.
