Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12340
2019-12-31 
Колесо радиуса $R$, расположенное на высоте $H$ над землей, вращается с угловой скоростью $\omega$. С колеса срывается капля и падает на землю в точке В под центром колеса (рис.). Найти время падения капли и точку А колеса, в которой капля отрывается.
Решение:
Чтобы найти время падения капли, представим себе, что одновременно с каждой точки колеса срываются капли, и рассмотрим движение этих капель в системе отсчета, падающей с ускорением $\vec{g}$. В этой системе капли движутся по инерции со скоростью $v = \omega R$. Через время $t$ они будут находиться на окружности радиуса
$r = \sqrt{R^{2} + v^{2}t^{2} }$
(рис.). Чтобы найти положение капель в неподвижной системе отсчета, связанной с землей, эту окружность надо опустить на расстояние
$s = \frac{gt^{2} }{2}$.
Ясно, что в тот момент, когда $r + s = H$, капли долетит до точки В на земле. Из условия
$\sqrt{R^{2} + v^{2}t^{2}} + \frac{gt^{2} }{2} = H$
находим:
$t_{пад}^{2} = \frac{2}{g^{2}} ( (v^{2} + gH ) \pm \sqrt{v^{4} + 2gH v^{2} + g^{2}R^{2} } )$.
В этой формуле нас устраивает только знак "минус", так как второй корень соответствует приходу в точку В той капли, которая находится в точке N окружности (см. рис.), а эта капля задерживается колесом. Подставляя $v = \omega R$, находим:
$t_{пад} = \frac{ \sqrt{2( \omega^{2}R^{2} + gH - R \sqrt{ \omega^{4}R^{2} + 2gH \omega^{2} + g^{2} } ) } }{g}$. (*)
Зная время падении капли до точки В, легко найти точку ее отрыва от колеса. Действительно, в падающий системе отсчета эта капля через время $t = t_{пад}$ после отрыва должна оказаться в точке М окружности (см. рис.). Следовательно, она отрывается в точке А такой, что
$tg \alpha = \frac{vt_{пад} }{R} = \omega t_{пад}$,
где $t_{пад}$ определяется формулой (*).
Колесо радиуса $R$, расположенное на высоте $H$ над землей, вращается с угловой скоростью $\omega$. С колеса срывается капля и падает на землю в точке В под центром колеса (рис.). Найти время падения капли и точку А колеса, в которой капля отрывается.
Решение:
Чтобы найти время падения капли, представим себе, что одновременно с каждой точки колеса срываются капли, и рассмотрим движение этих капель в системе отсчета, падающей с ускорением $\vec{g}$. В этой системе капли движутся по инерции со скоростью $v = \omega R$. Через время $t$ они будут находиться на окружности радиуса
$r = \sqrt{R^{2} + v^{2}t^{2} }$
(рис.). Чтобы найти положение капель в неподвижной системе отсчета, связанной с землей, эту окружность надо опустить на расстояние
$s = \frac{gt^{2} }{2}$.
Ясно, что в тот момент, когда $r + s = H$, капли долетит до точки В на земле. Из условия
$\sqrt{R^{2} + v^{2}t^{2}} + \frac{gt^{2} }{2} = H$
находим:
$t_{пад}^{2} = \frac{2}{g^{2}} ( (v^{2} + gH ) \pm \sqrt{v^{4} + 2gH v^{2} + g^{2}R^{2} } )$.
В этой формуле нас устраивает только знак "минус", так как второй корень соответствует приходу в точку В той капли, которая находится в точке N окружности (см. рис.), а эта капля задерживается колесом. Подставляя $v = \omega R$, находим:
$t_{пад} = \frac{ \sqrt{2( \omega^{2}R^{2} + gH - R \sqrt{ \omega^{4}R^{2} + 2gH \omega^{2} + g^{2} } ) } }{g}$. (*)
Зная время падении капли до точки В, легко найти точку ее отрыва от колеса. Действительно, в падающий системе отсчета эта капля через время $t = t_{пад}$ после отрыва должна оказаться в точке М окружности (см. рис.). Следовательно, она отрывается в точке А такой, что
$tg \alpha = \frac{vt_{пад} }{R} = \omega t_{пад}$,
где $t_{пад}$ определяется формулой (*).
