Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1234
2016-10-20 
Проводящая сфера радиусом $R$ имеет дефект поверхности в виде полусферического бугорка радиусом $r \ll R$ (см. рисунок). Оцените изменение электрической ёмкости сферы, обусловленное этим бугорком.
Решение:
Если бы бугорка не было, то заряд $Q$, равномерно распределённый по поверхности проводящей сферы, создавал бы в её центре потенциал $\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}R}$, и ёмкость сферы была бы равна $C = \frac{Q}{ \phi} = 4 \pi \epsilon_{0} R$. Однако из-за наличия бугорка часть заряда находится не на расстоянии $R$ от центра, а на немного большем расстоянии. В результате потенциал $\phi$ изменяется на малую величину $\Delta \phi$. Для того, чтобы оценить $\Delta \phi$, примем, что на бугорке находится малый заряд $q$, и будем считать, что он находится на расстоянии порядка $r$ от поверхности сферы. Тогда
$ \Delta \phi \sim \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} (R+r)} - \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} R} \approx - \frac{qr}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}}$.
Для оценки величины заряда бугорка $q$ рассмотрим напряжённость электрического поля вблизи центра бугорка, которая должна обращаться в нуль. Заряды на сфере создают в этой точке поле с напряженностью $E_{1} \cong \frac{Q}{2 \cdot 4 \pi \epsilon_{0}R^{2}}$, а заряды на бугорке — с напряженностью $E_{2} \cong \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}}$. Из условия $\vec{E}_{1} + \vec{E}_{2} = 0$ находим: $q \cong \frac{Qr^{2}}{2R^{2}}$ (этот результат имеет следующий физический смысл: поверхностные плотности зарядов на сфере и на бугорке одинаковы по порядку величины). Окончательно для изменения ёмкости сферы, обусловленного наличием бугорка, получаем:
$\Delta C = \frac{Q}{ \phi + \Delta \phi} - \frac{Q}{ \phi} \approx - \frac{Q}{ \phi^{2}} \Delta \phi \cong 2 \pi \epsilon_{0} \frac{r^{3}}{R^{2}}$.
Проводящая сфера радиусом $R$ имеет дефект поверхности в виде полусферического бугорка радиусом $r \ll R$ (см. рисунок). Оцените изменение электрической ёмкости сферы, обусловленное этим бугорком.
Решение:
Если бы бугорка не было, то заряд $Q$, равномерно распределённый по поверхности проводящей сферы, создавал бы в её центре потенциал $\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}R}$, и ёмкость сферы была бы равна $C = \frac{Q}{ \phi} = 4 \pi \epsilon_{0} R$. Однако из-за наличия бугорка часть заряда находится не на расстоянии $R$ от центра, а на немного большем расстоянии. В результате потенциал $\phi$ изменяется на малую величину $\Delta \phi$. Для того, чтобы оценить $\Delta \phi$, примем, что на бугорке находится малый заряд $q$, и будем считать, что он находится на расстоянии порядка $r$ от поверхности сферы. Тогда
$ \Delta \phi \sim \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} (R+r)} - \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} R} \approx - \frac{qr}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}}$.
Для оценки величины заряда бугорка $q$ рассмотрим напряжённость электрического поля вблизи центра бугорка, которая должна обращаться в нуль. Заряды на сфере создают в этой точке поле с напряженностью $E_{1} \cong \frac{Q}{2 \cdot 4 \pi \epsilon_{0}R^{2}}$, а заряды на бугорке — с напряженностью $E_{2} \cong \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}}$. Из условия $\vec{E}_{1} + \vec{E}_{2} = 0$ находим: $q \cong \frac{Qr^{2}}{2R^{2}}$ (этот результат имеет следующий физический смысл: поверхностные плотности зарядов на сфере и на бугорке одинаковы по порядку величины). Окончательно для изменения ёмкости сферы, обусловленного наличием бугорка, получаем:
$\Delta C = \frac{Q}{ \phi + \Delta \phi} - \frac{Q}{ \phi} \approx - \frac{Q}{ \phi^{2}} \Delta \phi \cong 2 \pi \epsilon_{0} \frac{r^{3}}{R^{2}}$.
