Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12338
2019-12-31 
В 1844 году выдающийся математик и астроном Бессель обнаружил, что собственное (не связанное с движением земного наблюдателя) движение Сириуса происходит примерно по синусоиде (рис.) Максимальное угловое отклонение от прямолинейного пути $\alpha =2,3^{ \prime \prime}$, период $T = 50$ лет. Бессель предположил (через 18 лет это было подтверждено прямыми наблюдениями), что искривление пути Сириуса вызывается наличием спутника - более слабой звезды. Найти отношение массы $m$ спутники (Сириуса В) к массе $M$, Солнца, если масса основной звезды (Сириуса А) $M = 2,3M_{C}$. Известно, что радиус земной орбиты виден c Сириуса под углом $\beta = 0,376^{ \prime \prime}$. Считать, что орбиты звезд круговые, а плоскость орбит перпендикулярна направлению от Солнечной системы к Сириусу.
Решение:
Из условия задачи ясно, что $\alpha$ - угловой размер радиуса орбиты Сириуса A при наблюдении с Земли. Учитывая малость углов $\alpha$ и $\beta$, можем записать соотношение между радиусами орбит Сириуса A ($R$) и Земли ($R_{0}$) (см. рисунок):
$\frac{R}{R_{0} } = \frac{ \alpha }{ \beta}$. (1)
Компоненты системы Сириуса обращаются вокруг общего центра масс. Радиус $r$ орбиты Сириуса В равен
$r = \frac{M}{m} R$. (2)
Расстояние между компонентами, таким образом, равно $R + r$.
Запишем уравнение движения (II закон Ньютона) для Сириуса А и для Земли (масса Земли $m_{0}$, земной год $T_{0}$):
$M \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2} R = G \frac{Mm}{(R + r)^{2} }$. (3)
$m_{0} \left ( \frac{2 \pi}{T_{0} } \right )^{2} R_{0} = G \frac{M_{C}m_{0} }{R_{0}^{2} }$. (4)
Поделим уравнение (3) на уравнение (4):
$\left ( \frac{T_{0} }{T} \right )^{2} \frac{R}{R_{0} } = \frac{m}{M_{C} } \frac{R_{0}^{2} }{(R + r)^{2} }$ (5)
Удобно ввести безразмерные величины $\mu = \frac{m}{m_{C} }, \tau = \frac{T}{T_{0} }, \rho = \frac{R}{R_{0} }$. Тогда уравнение (5) с учетом соотношении (2) преобразуется к виду
$\frac{ \left ( \mu + \frac{M}{M_{C}} \right )^{2}}{ \mu^{3} } = \frac{ \tau^{2} }{ \rho^{3} }$.
Но $M/M_{C} = 2,2, \rho = \alpha / \beta \approx 6,1$ (соотношение (1)), a $\tau = 50$. Следовательно,
$\frac{( \mu + 2,3)^{2}}{ \mu^{3} } = \frac{ \tau^{2} }{ \left ( \frac{ \alpha }{ \beta } \right )^{3} } \approx 11$.
Подбором находим:
$\mu = \frac{m}{M_{C} } \approx 1$.
В 1844 году выдающийся математик и астроном Бессель обнаружил, что собственное (не связанное с движением земного наблюдателя) движение Сириуса происходит примерно по синусоиде (рис.) Максимальное угловое отклонение от прямолинейного пути $\alpha =2,3^{ \prime \prime}$, период $T = 50$ лет. Бессель предположил (через 18 лет это было подтверждено прямыми наблюдениями), что искривление пути Сириуса вызывается наличием спутника - более слабой звезды. Найти отношение массы $m$ спутники (Сириуса В) к массе $M$, Солнца, если масса основной звезды (Сириуса А) $M = 2,3M_{C}$. Известно, что радиус земной орбиты виден c Сириуса под углом $\beta = 0,376^{ \prime \prime}$. Считать, что орбиты звезд круговые, а плоскость орбит перпендикулярна направлению от Солнечной системы к Сириусу.
Решение:
Из условия задачи ясно, что $\alpha$ - угловой размер радиуса орбиты Сириуса A при наблюдении с Земли. Учитывая малость углов $\alpha$ и $\beta$, можем записать соотношение между радиусами орбит Сириуса A ($R$) и Земли ($R_{0}$) (см. рисунок):
$\frac{R}{R_{0} } = \frac{ \alpha }{ \beta}$. (1)
Компоненты системы Сириуса обращаются вокруг общего центра масс. Радиус $r$ орбиты Сириуса В равен
$r = \frac{M}{m} R$. (2)
Расстояние между компонентами, таким образом, равно $R + r$.
Запишем уравнение движения (II закон Ньютона) для Сириуса А и для Земли (масса Земли $m_{0}$, земной год $T_{0}$):
$M \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2} R = G \frac{Mm}{(R + r)^{2} }$. (3)
$m_{0} \left ( \frac{2 \pi}{T_{0} } \right )^{2} R_{0} = G \frac{M_{C}m_{0} }{R_{0}^{2} }$. (4)
Поделим уравнение (3) на уравнение (4):
$\left ( \frac{T_{0} }{T} \right )^{2} \frac{R}{R_{0} } = \frac{m}{M_{C} } \frac{R_{0}^{2} }{(R + r)^{2} }$ (5)
Удобно ввести безразмерные величины $\mu = \frac{m}{m_{C} }, \tau = \frac{T}{T_{0} }, \rho = \frac{R}{R_{0} }$. Тогда уравнение (5) с учетом соотношении (2) преобразуется к виду
$\frac{ \left ( \mu + \frac{M}{M_{C}} \right )^{2}}{ \mu^{3} } = \frac{ \tau^{2} }{ \rho^{3} }$.
Но $M/M_{C} = 2,2, \rho = \alpha / \beta \approx 6,1$ (соотношение (1)), a $\tau = 50$. Следовательно,
$\frac{( \mu + 2,3)^{2}}{ \mu^{3} } = \frac{ \tau^{2} }{ \left ( \frac{ \alpha }{ \beta } \right )^{3} } \approx 11$.
Подбором находим:
$\mu = \frac{m}{M_{C} } \approx 1$.
