Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12337
2019-12-31 
Для измерения скоростей частиц используется лазерный анемометр, в котором движущиеся частицы освещаются двумя пересекающимися лазерными когерентными пучками света (рисунок). Отраженный частицами свет улавливается фотоэлементом $\Phi$ и преобразуется в электрический сигнал. Частицы движутся по перпендикуляру к биссектрисе угла и $\alpha = 60^{ \circ}$ между пучками. С какой скоростью двигалась частица, если при длине волны лазерного излучения $\lambda = 0,63 мкм$ был зарегистрирован периодический сигнал с частотой $\nu = 320 кГц$?
Решение:
Поскольку лазерные пучки когерентны, в области их пересечения они будут интерферировать.
Выберем систему координат ХОY так, как это показано на рисунке, и для произвольной точки а с координатами х и у найдем разность фаз $\Delta \phi$ для двух плоских волн, соответствующих нашим пучкам и приходящих в эту точку. Пусть фаза первой волны в точке с координатами $x = 0$ и $y = 0$ равна $\phi_{0}$, то есть $\phi_{1}(0, 0 ) = \phi_{0}$. Фронт этой волны изображен на рисунке прямой $N_{10}$, проходящей через точку (0, 0); фронт этой же волны про ходящий через точку (х; у), изображен прямой $N_{1}$. Очевидно, что разность хода $\Delta_{1}$ для лучей, соответствующих этой волне, приходящих в точки (0; 0) и (х; у), равна расстоянию между прямыми $N_{10}$ и $N_{1}$, то есть равна длине отрезка ОВ. Из простых геометрических соображений находим длину этого отрезка и следовательно, $\Delta_{1}$:
$\Delta_{1} = |OB| = x \sin \frac{ \alpha}{2} + y \cos \frac{ \alpha }{2}$.
Следовательно, фаза волны в точке (х; у) равна
$\phi_{1}(x,y) = \phi_{0} - \frac{2 \pi}{ \lambda} \left ( x \sin \frac{ \alpha}{2} + y \cos \frac{ \alpha}{2} \right )$,
где $\lambda$ - длина волны.
Совершенно аналогично положим фазу волны, соответствующей второму пучку, в точке с координатами $(d; 0)$ равной $\Psi_{0}$, то есть $\phi_{2}(d, 0) = \Psi_{0}$ (здесь $d$ - расстояние между точками $O$ и $O^{ \prime}$). На рисунке фронт второй волны проходящих через точку $(d; 0)$ изображен прямой $N_{20}$, а фронт этой волны, проходящий через точку $(x; y)$, изображен примой $N_{2}$. Разность хода $N_{2}$ равна длине отрезка $O^{ \prime}C$, то есть равна
$\Delta_{2} = | O^{ \prime}C | =(d - x) \sin \frac{ \alpha}{2} + y \cos \frac{ \alpha}{2}$.
Следовательно, фаза второй волны в точке (х, у) равна
$\phi_{2} (x,y ) = \Psi_{0} - \frac{2 \pi}{ \lambda} \left ( (d-x) \sin \frac{ \alpha }{2} + y \cos \frac{ \alpha}{2} \right )$
Разность фаз $\Delta \phi (x, y)$ между волнами двух лучков в точке $(x;y)$ равна
$\Delta \phi (x,y) = \phi_{1}(x ,y) - \phi_{2}(x,y) = \phi_{0} - \Psi_{0} = \frac{2 \pi}{ \lambda} \left (2 x \sin \frac{ \alpha }{2} - d \sin \frac{ \alpha}{2} \right )$.
Как видно из полученного выражении для $\Delta \phi (x, y)$, сдвиг по фазе между волнами двух пучков света зависит только от координаты $x$. Пусть амплитуды волн обоих пучков равны друг другу и равны $A$. Распределение интенсивности света и области пересечении пучков будет иметь вид $J(x) = 2A^{2}(1 + \cos \Delta \phi) = 2A^{2} \left ( 1 + \cos \left ( \phi_{0} - \Psi_{0} - \frac{2 \pi}{ \lambda } \left (2 x \sin \frac{ \alpha}{2} - d \sin \frac{ \alpha}{2} \right ) \right ) \right )$
Эта периодическая функции имеет период $\Delta x$ вдоль оси $X$, который находится из условия
$\frac{2 \pi}{ \lambda} 2 \cdot \Delta x \cdot \sin \frac{ \alpha}{2} = 2 \pi \Rightarrow \Delta x = \frac{ \lambda}{2 \sin \frac{ \alpha}{2} }$.
Если размер частицы меньше $\Delta x$ и частица движется равномерно со скоростью $v$ вдоль оси X, то интенсивность света, отряженного от частицы и улавливаемого фотоэлементом, будет периодически меняться со временем с периодом $T = \frac{ \Delta x}{v}$ или с частотой $\nu = \frac{v}{ \Delta x}$. Подставляя найденное выражение дли $\Delta x$, из последнего равенства находим скорость частицы:
$v = \frac{ \lambda \nu}{2 \sin \frac{ \alpha}{2} } = \frac{0,63 \cdot 10^{-6} \cdot 320 \cdot 10^{3}}{2 \cdot 0,5} м/с \approx 0,2 м/с$.
Для измерения скоростей частиц используется лазерный анемометр, в котором движущиеся частицы освещаются двумя пересекающимися лазерными когерентными пучками света (рисунок). Отраженный частицами свет улавливается фотоэлементом $\Phi$ и преобразуется в электрический сигнал. Частицы движутся по перпендикуляру к биссектрисе угла и $\alpha = 60^{ \circ}$ между пучками. С какой скоростью двигалась частица, если при длине волны лазерного излучения $\lambda = 0,63 мкм$ был зарегистрирован периодический сигнал с частотой $\nu = 320 кГц$?
Решение:
Поскольку лазерные пучки когерентны, в области их пересечения они будут интерферировать.
Выберем систему координат ХОY так, как это показано на рисунке, и для произвольной точки а с координатами х и у найдем разность фаз $\Delta \phi$ для двух плоских волн, соответствующих нашим пучкам и приходящих в эту точку. Пусть фаза первой волны в точке с координатами $x = 0$ и $y = 0$ равна $\phi_{0}$, то есть $\phi_{1}(0, 0 ) = \phi_{0}$. Фронт этой волны изображен на рисунке прямой $N_{10}$, проходящей через точку (0, 0); фронт этой же волны про ходящий через точку (х; у), изображен прямой $N_{1}$. Очевидно, что разность хода $\Delta_{1}$ для лучей, соответствующих этой волне, приходящих в точки (0; 0) и (х; у), равна расстоянию между прямыми $N_{10}$ и $N_{1}$, то есть равна длине отрезка ОВ. Из простых геометрических соображений находим длину этого отрезка и следовательно, $\Delta_{1}$:
$\Delta_{1} = |OB| = x \sin \frac{ \alpha}{2} + y \cos \frac{ \alpha }{2}$.
Следовательно, фаза волны в точке (х; у) равна
$\phi_{1}(x,y) = \phi_{0} - \frac{2 \pi}{ \lambda} \left ( x \sin \frac{ \alpha}{2} + y \cos \frac{ \alpha}{2} \right )$,
где $\lambda$ - длина волны.
Совершенно аналогично положим фазу волны, соответствующей второму пучку, в точке с координатами $(d; 0)$ равной $\Psi_{0}$, то есть $\phi_{2}(d, 0) = \Psi_{0}$ (здесь $d$ - расстояние между точками $O$ и $O^{ \prime}$). На рисунке фронт второй волны проходящих через точку $(d; 0)$ изображен прямой $N_{20}$, а фронт этой волны, проходящий через точку $(x; y)$, изображен примой $N_{2}$. Разность хода $N_{2}$ равна длине отрезка $O^{ \prime}C$, то есть равна
$\Delta_{2} = | O^{ \prime}C | =(d - x) \sin \frac{ \alpha}{2} + y \cos \frac{ \alpha}{2}$.
Следовательно, фаза второй волны в точке (х, у) равна
$\phi_{2} (x,y ) = \Psi_{0} - \frac{2 \pi}{ \lambda} \left ( (d-x) \sin \frac{ \alpha }{2} + y \cos \frac{ \alpha}{2} \right )$
Разность фаз $\Delta \phi (x, y)$ между волнами двух лучков в точке $(x;y)$ равна
$\Delta \phi (x,y) = \phi_{1}(x ,y) - \phi_{2}(x,y) = \phi_{0} - \Psi_{0} = \frac{2 \pi}{ \lambda} \left (2 x \sin \frac{ \alpha }{2} - d \sin \frac{ \alpha}{2} \right )$.
Как видно из полученного выражении для $\Delta \phi (x, y)$, сдвиг по фазе между волнами двух пучков света зависит только от координаты $x$. Пусть амплитуды волн обоих пучков равны друг другу и равны $A$. Распределение интенсивности света и области пересечении пучков будет иметь вид $J(x) = 2A^{2}(1 + \cos \Delta \phi) = 2A^{2} \left ( 1 + \cos \left ( \phi_{0} - \Psi_{0} - \frac{2 \pi}{ \lambda } \left (2 x \sin \frac{ \alpha}{2} - d \sin \frac{ \alpha}{2} \right ) \right ) \right )$
Эта периодическая функции имеет период $\Delta x$ вдоль оси $X$, который находится из условия
$\frac{2 \pi}{ \lambda} 2 \cdot \Delta x \cdot \sin \frac{ \alpha}{2} = 2 \pi \Rightarrow \Delta x = \frac{ \lambda}{2 \sin \frac{ \alpha}{2} }$.
Если размер частицы меньше $\Delta x$ и частица движется равномерно со скоростью $v$ вдоль оси X, то интенсивность света, отряженного от частицы и улавливаемого фотоэлементом, будет периодически меняться со временем с периодом $T = \frac{ \Delta x}{v}$ или с частотой $\nu = \frac{v}{ \Delta x}$. Подставляя найденное выражение дли $\Delta x$, из последнего равенства находим скорость частицы:
$v = \frac{ \lambda \nu}{2 \sin \frac{ \alpha}{2} } = \frac{0,63 \cdot 10^{-6} \cdot 320 \cdot 10^{3}}{2 \cdot 0,5} м/с \approx 0,2 м/с$.
