Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12331
2019-12-31 
Полый цилиндр массы $M$ скатывается без проскальзывания по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha = 45^{ \circ}$. На абсолютно гладкой внутренней поверхности цилиндра лежит маленькое тело массы $m = M/2$. Чему равен угол $\beta$ (см. рисунок) во время скатывания?
Решение:
Поскольку сила трения отсутствуют, механическая энергия системы цилиндр + тело остается постоянной. Кинетическая энергия системы складывается из кинетической энергии поступательного движения цилиндра и тела как целого н кинетической энергии всех точек цилиндра, обладающих в каждый момент некоторой линейной скоростью. Так как проскальзывания нет, эта линейная скорость равна скорости поступательного движения цилиндра.
Запишем закон сохранения энергии:
$(2M + m) \frac{v_{x}^{2} }{2} = (M + m) gx \sin \alpha$. (1)
Здесь $x$ (см. рисунок) - координата центра цилиндра в данный момент времени ($x = 0$ и начале движения), $v_{x}$ - скорость движения в данный момент времени ($v_{x} = 0$, когда $x = 0$). Учитывая, что $x = \frac{v_{x}^{2} }{2a}$, из уравнения (1) находим ускорение системы:
$(2M + m)a = (M + m)g \sin \alpha \Rightarrow a = \frac{M + m}{2M + m} g \sin \alpha = \frac{3}{5} g \sin \alpha$. (2)
Запишем уравнение движения тела в проекциях на оси X и Y (см. рисунок):
$mg \sin \alpha - N \sin \beta = ma$,
$mg \sin \alpha - N \cos \beta = 0$.
Отсюда с учетом соотношения (2) получаем
$tg \beta = \frac{2}{5} tg \alpha = 0,4, \beta = 21^{ \circ}48^{ \prime}$.
Полый цилиндр массы $M$ скатывается без проскальзывания по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha = 45^{ \circ}$. На абсолютно гладкой внутренней поверхности цилиндра лежит маленькое тело массы $m = M/2$. Чему равен угол $\beta$ (см. рисунок) во время скатывания?
Решение:
Поскольку сила трения отсутствуют, механическая энергия системы цилиндр + тело остается постоянной. Кинетическая энергия системы складывается из кинетической энергии поступательного движения цилиндра и тела как целого н кинетической энергии всех точек цилиндра, обладающих в каждый момент некоторой линейной скоростью. Так как проскальзывания нет, эта линейная скорость равна скорости поступательного движения цилиндра.
Запишем закон сохранения энергии:
$(2M + m) \frac{v_{x}^{2} }{2} = (M + m) gx \sin \alpha$. (1)
Здесь $x$ (см. рисунок) - координата центра цилиндра в данный момент времени ($x = 0$ и начале движения), $v_{x}$ - скорость движения в данный момент времени ($v_{x} = 0$, когда $x = 0$). Учитывая, что $x = \frac{v_{x}^{2} }{2a}$, из уравнения (1) находим ускорение системы:
$(2M + m)a = (M + m)g \sin \alpha \Rightarrow a = \frac{M + m}{2M + m} g \sin \alpha = \frac{3}{5} g \sin \alpha$. (2)
Запишем уравнение движения тела в проекциях на оси X и Y (см. рисунок):
$mg \sin \alpha - N \sin \beta = ma$,
$mg \sin \alpha - N \cos \beta = 0$.
Отсюда с учетом соотношения (2) получаем
$tg \beta = \frac{2}{5} tg \alpha = 0,4, \beta = 21^{ \circ}48^{ \prime}$.
